《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 如图 5-10 所示,在四边形$ABCD$中,$AB= CD$,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$AE⊥BD于点E$,$CF⊥BD于点F$,连接$AF$,$CE$,若$DE= BF$,则下列结论：①$CF= AE$；②$OE= OF$；③四边形$ABCD$是平行四边形；④图中共有四对全等三角形. 其中正确结论的个数是(B)

A.4

B.3
C.2
D.1

答案： 【解析】：
① CF=AE：
∵ $ DE = BF $，
∴ $ DE - EF = BF - EF $，即 $ DF = BE $。
∵ $ AE \perp BD $，$ CF \perp BD $，
∴ $ \angle AEB = \angle CFD = 90^\circ $。
在 $ \text{Rt}\triangle ABE $ 和 $ \text{Rt}\triangle CDF $ 中，
$ AB = CD $，$ BE = DF $，
∴ $ \text{Rt}\triangle ABE \cong \text{Rt}\triangle CDF \, (\text{HL}) $，
∴ $ CF = AE $，结论①正确。
② OE=OF：
在 $ \triangle AEO $ 和 $ \triangle CFO $ 中，
$ \angle AEO = \angle CFO = 90^\circ $，$ \angle AOE = \angle COF $（对顶角），$ AE = CF $，
∴ $ \triangle AEO \cong \triangle CFO \, (\text{AAS}) $，
∴ $ OE = OF $，结论②正确。
③ 四边形ABCD是平行四边形：
由 $ \triangle AEO \cong \triangle CFO $ 得 $ AO = CO $，
由 $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $ 得 $ \angle ABE = \angle CDF $，
∴ $ AB // CD $（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ $ AB = CD $，
∴ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），结论③正确。
④ 图中共有四对全等三角形：
全等三角形有：
1. $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $，
2. $ \triangle AEO \cong \triangle CFO $，
3. $ \triangle AOF \cong \triangle COE $（由 $ AO = CO $，$ OE = OF $，$ \angle AOF = \angle COE $ 得 $ \text{SAS} $），
4. $ \triangle ADE \cong \triangle CBF $（$ AD = BC $，$ DE = BF $，$ AE = CF $，$ \text{SSS} $），
5. $ \triangle ABC \cong \triangle CDA $（平行四边形对边相等，对角线公共边，$ \text{SSS} $），
6. $ \triangle ABD \cong \triangle CDB $（同理 $ \text{SSS} $）。
共6对全等三角形，结论④错误。
综上，正确结论为①②③，共3个。
【答案】：B

5. 如图 5-11 所示,在$□ ABCD$中,$AC$,$BD$为对角线,$BC= 6$,$BC$边上的高为 4,则阴影部分的面积为(C)

A.3
B.6
C.12
D.24

答案： 【解析】：在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则$O$为$AC$和$BD$的中点。平行四边形的面积等于底乘以高，已知$BC = 6$，$BC$边上的高为$4$，所以平行四边形$ABCD$的面积为$6×4 = 24$。
观察阴影部分，通过中心对称的性质可知，阴影部分的三角形与相对应的空白三角形面积相等。例如，$\triangle AOE$和$\triangle COF$面积相等，$\triangle DOG$和$\triangle BOH$面积相等，中间的$\triangle OEF$和$\triangle OGH$等也存在对称关系。因此，阴影部分的面积之和等于平行四边形面积的一半，即$24÷2 = 12$。
【答案】：C

1. 为了增强学生的垃圾分类意识,某学校组织了一次以“垃圾分类,从我做起”为主题的学习活动,并对全校 2500 名学生进行测试. 阅卷后,教务处随机抽取了 100 份答卷进行统计分析,发现考试成绩($x$分)的最低分为 51 分,最高分为满分 100 分(得分均为整数),并绘制了尚不完整的统计图表. 请根据图表提供的信息,解答下列问题：

(1)填空：$a= $10,$b= $25,$n= $0.25；
(2)将频数分布直方图(图 5-12)补充完整；
(3)在绘制扇形统计图时,$81\leqslant x＜91$这一分数段所占扇形的圆心角度数为126°.

答案： $(1)$ 求$a$、$b$、$n$的值
- 根据频数$=$总数$×$频率，已知总数为$100$，$51\leqslant x\lt61$分数段的频率是$0.1$，则$a = 100×0.1=10$。
- 因为总数是$100$，所以$b=100-(10 + 18+35 + 12)=25$。
- 再根据频率$=$频数$÷$总数，可得$n=\frac{25}{100}=0.25$。
$(3)$ 求$81\leqslant x\lt91$这一分数段所占扇形的圆心角度数
根据圆心角度数$=$该部分频率$×360^{\circ}$，已知$81\leqslant x\lt91$分数段的频率是$0.35$，则其圆心角度数为$0.35×360^{\circ}=126^{\circ}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{a = 10}$，$\boldsymbol{b = 25}$，$\boldsymbol{n = 0.25}$；$(3)$$\boldsymbol{126^{\circ}}$。