《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 一次函数$y= (3-a)x+b-2$在平面直角坐标系中的图象如图 11 - 4 所示,化简：$|b-a|-\sqrt {a^{2}-6a+9}-|2-b|= $1.

答案： 【解析】：由图11-4可知，一次函数$y=(3 - a)x + b - 2$的图象经过第二、三、四象限。
对于一次函数$y = kx + c$（$k$，$c$为常数，$k\neq0$）：
当$k\lt0$时，函数图象从左到右下降；
当$c\lt0$时，函数图象与$y$轴交于负半轴。
在此函数中，$k = 3 - a$，$c = b - 2$。因为图象经过第二、三、四象限，所以$k\lt0$且$c\lt0$，即：
$\begin{cases}3 - a\lt0\\b - 2\lt0\end{cases}$
解$3 - a\lt0$得：$a\gt3$；解$b - 2\lt0$得：$b\lt2$。
接下来分析要化简的式子$\vert b - a\vert-\sqrt{a^{2}-6a + 9}-\vert2 - b\vert$：
1. 化简$\vert b - a\vert$：因为$a\gt3$，$b\lt2$，所以$b - a\lt0$，则$\vert b - a\vert=a - b$。
2. 化简$\sqrt{a^{2}-6a + 9}$：$a^{2}-6a + 9=(a - 3)^{2}$，所以$\sqrt{(a - 3)^{2}}=\vert a - 3\vert$。又因为$a\gt3$，所以$\vert a - 3\vert=a - 3$。
3. 化简$\vert2 - b\vert$：因为$b\lt2$，所以$2 - b\gt0$，则$\vert2 - b\vert=2 - b$。
将上述化简结果代入原式：
$\begin{aligned}\vert b - a\vert-\sqrt{a^{2}-6a + 9}-\vert2 - b\vert&=(a - b)-(a - 3)-(2 - b)\\&=a - b - a + 3 - 2 + b\\&=(a - a)+(-b + b)+(3 - 2)\\&=0 + 0 + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】：1

5. 如图 11 - 5 所示,$P是菱形 ABCD 对角线 BD $上一点,$PE⊥AB于点 E$,$PE= 4cm$,则点$ P 到 BC $的距离是____4____cm.

答案： 【解析】：因为四边形ABCD是菱形，菱形的对角线平分一组对角，所以BD是∠ABC的平分线。又因为点P在BD上，且PE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到BC的距离等于PE的长度。已知PE=4cm，所以点P到BC的距离是4cm。
【答案】：4

1. 矩形的两邻边长分别为$10 cm和15 cm$,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分为(B)
A.$4 cm和11 cm$
B.$5 cm和10 cm$
C.$6 cm和9 cm$
D.$7 cm和8 cm$

答案： 【解析】：
设矩形为$ABCD$，其中$AB = 10 \text{ cm}$，$BC = 15 \text{ cm}$。
设角$A$的平分线交长边$BC$于点$E$。
由于$AE$是角$A$的平分线，根据角平分线的性质，角$BAE$等于角$EAD$，也等于角$BEA$。
由于$AB$和$BE$与角$BAE$和角$BEA$构成等腰三角形，因此$AB = BE = 10 \text{ cm}$。
那么，$EC = BC - BE = 15 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$。
另一种可能是$BE$为较长部分，那么$BE=15-10=5 \text{ cm}$的补集，即$10 \text{ cm}$为较长部分，$EC$为$5 \text{ cm}$为较短部分，也就是$10 \text{ cm}$和$5 \text{ cm}$的另一种组合：$5 \text{ cm}$和$10 \text{ cm}$。
【答案】：B.$5 cm$和$10 cm$

2. 如图 11 - 6 所示,在$□ ABCD$中,$BE⊥CD$,$BF⊥AD$,垂足分别为$ E$,$F$.若$CE= 2$,$DF= 1$,$∠EBF= 60^{\circ }$,则$□ ABCD$的面积为(C)
A.$6\sqrt {3}$

B.$12\sqrt {2}$
C.$12\sqrt {3}$
D.$20$

答案： 【解析】：
因为 $ BE \perp CD $，$ BF \perp AD $，所以 $\angle BEC = \angle BFD = 90^\circ$。
因为 $\angle EBF = 60^\circ$，所以 $\angle D = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。
所以 $\angle A = \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。
在Rt $\triangle BCE$ 中，$\angle C = 60^\circ$，$CE = 2$，则 $BC = 4$，$BE = 2\sqrt{3}$。
在Rt $\triangle ABF$ 中，$\angle A = 60^\circ$，$DF = 1$，则设 $AB = x$，$BF = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，$AF = \frac{1}{2}x$。
因为 $ AD = BC = 4$，所以 $ \frac{1}{2}x + 1 = 4$。
解得 $x = 6$，即 $AB = 6$。
因此，平行四边形 $ABCD$ 的面积 $S = AB \cdot BF = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$。
【答案】：C.$12\sqrt{3}$

3. 在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= 9$,$BC= 12$,则点$ C 到 AB $的距离是(A)
A.$\frac {36}{5}$
B.$\frac {12}{25}$
C.$\frac {9}{4}$
D.$\frac {3\sqrt {3}}{4}$

答案： 【解析】：
首先，根据勾股定理，在直角三角形$ABC$中，有
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$，
设点$C$到$AB$的距离为$h$，则三角形的面积可以表示为
$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × h$，
代入已知的$AC$，$BC$和$AB$的值，得到
$\frac{1}{2} × 9 × 12 = \frac{1}{2} × 15 × h$，
解这个方程，可以得到
$h = \frac{9 × 12}{15} = \frac{36}{5}$，
所以，点$C$到$AB$的距离是$\frac{36}{5}$。
【答案】：A.$\frac{36}{5}$。

4. 如图 11 - 7 所示,在矩形纸片$ ABCD $中,已知$AD= 8$,折叠纸片使$ AB 边与对角线 AC $重合,点$ B 落在点 F $处,折痕为$ AE $,且$EF= 3$,则$ AB $的长为(D)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 【解析】：在矩形纸片$ABCD$中，$AD = 8$，$BC = AD = 8$，$\angle B = 90^{\circ}$。折叠纸片使$AB$边与对角线$AC$重合，点$B$落在点$F$处，折痕为$AE$，则$AB = AF$，$BE = EF = 3$，$\angle AFE=\angle B = 90^{\circ}$。
因为$BC = 8$，$BE = 3$，所以$EC=BC - BE=8 - 3=5$。
在$Rt\triangle EFC$中，$EF = 3$，$EC = 5$，根据勾股定理可得$FC=\sqrt{EC^{2}-EF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
设$AB = AF = x$，则$AC=AF + FC=x + 4$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$x^{2}+8^{2}=(x + 4)^{2}$。
展开得$x^{2}+64=x^{2}+8x + 16$，移项化简得$8x=48$，解得$x = 6$，所以$AB$的长为$6$。
【答案】：D