《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 能判定四边形是平行四边形的是(D)
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分

答案： 【解析】：平行四边形的判定定理中，关于对角线的条件是对角线互相平分。选项A中对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如菱形的对角线互相垂直，但菱形是特殊的平行四边形，而普通的对角线垂直的四边形（如筝形）不是平行四边形；选项B对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，但它不是平行四边形；选项C对角线互相垂直且相等的四边形也不一定是平行四边形，比如一些不规则的四边形也可能满足此条件；只有选项D对角线互相平分符合平行四边形的判定定理。
【答案】：D

5. 如图 12 - 3 所示,正方形 OABC 的边长为 1,OA 在数轴上,以 O 为圆心,对角线 OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是(B)

A.1
B.$\sqrt {2}$
C.1.5
D.2

答案： 【解析】：
由勾股定理可知，正方形对角线的长度为：
$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则该点到O的距离为$\sqrt{2}$，
所以这个点表示的实数是$\sqrt{2}$。
【答案】：$\sqrt{2}$

1. 在一次函数$y= (3 + m)x + 3$中,若 y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是$m\lt - 3$.

答案： 【解析】：对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。在函数$y=(3 + m)x + 3$中，$k = 3 + m$，因为$y$随$x$的增大而减小，所以$3 + m\lt0$，解得$m\lt - 3$。
【答案】：$m\lt - 3$

2. 直线$y = 2x - 1$沿 y 轴平移 3 个单位长度,则平移后直线与 y 轴的交点坐标为$(0, 2)$或$(0, -4)$.

答案： 【解析】：直线沿y轴平移时，斜率不变，仅截距发生变化。原直线方程为$y = 2x - 1$，其与y轴的交点坐标为$(0, -1)$。
当沿y轴向上平移3个单位长度时，新的截距为$-1 + 3 = 2$，平移后直线方程为$y = 2x + 2$，此时与y轴交点坐标为$(0, 2)$；
当沿y轴向下平移3个单位长度时，新的截距为$-1 - 3 = -4$，平移后直线方程为$y = 2x - 4$，此时与y轴交点坐标为$(0, -4)$。
综上，平移后直线与y轴的交点坐标为$(0, 2)$或$(0, -4)$。
【答案】：$(0, 2)$或$(0, -4)$

3. 如图 12 - 4 所示,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ }$,D 是 BC 的中点,$DE⊥BC$,$CE// AD$. 若$AC = 2$,$CE = 4$,则四边形 ACEB 的周长为____$10 + 2\sqrt{13}$.

答案： 【解析】：
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$D$是$BC$的中点，$DE \perp BC$，$CE // AD$。
1. 证明四边形$ACED$是平行四边形：
因为$CE // AD$，且$DE \perp BC$，$\angle ACB = 90^\circ$，所以$AC // DE$（均垂直于$BC$）。
因此，四边形$ACED$是平行四边形，故$AD = CE = 4$，$DE = AC = 2$。
2. 求$CD$的长度：
在$\text{Rt}\triangle ACD$中，$AC = 2$，$AD = 4$，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
3. 求$BC$的长度：
因为$D$是$BC$的中点，所以$BC = 2CD = 2 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
4. 求$BE$的长度：
$DE \perp BC$，$D$是$BC$中点，故$DE$是$BC$的垂直平分线，因此$BE = CE = 4$（垂直平分线上的点到两端距离相等）。
5. 求$AB$的长度：
在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$AC = 2$，$BC = 4\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
6. 计算四边形$ACEB$的周长：
周长$= AC + CE + EB + BA = 2 + 4 + 4 + 2\sqrt{13} = 10 + 2\sqrt{13}$。
【答案】：$10 + 2\sqrt{13}$

4. 如图 12 - 5 所示,在矩形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,$AC = 2AB$,则$∠AOD$的度数等于____120°.

答案： 【解析】：在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，所以 $AC = BD$，$OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，因此 $OA = OB = OC = OD$。
已知 $AC = 2AB$，设 $AB = x$，则 $AC = 2x$，所以 $OA = \frac{1}{2}AC = x$，即 $OA = AB = x$。
在 $\triangle AOB$ 中，$OA = OB = x$（已证），$AB = x$，所以 $\triangle AOB$ 是等边三角形，因此 $\angle AOB = 60^\circ$。
因为 $\angle AOD$ 和 $\angle AOB$ 是邻补角，所以 $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。
【答案】：120°

5. 如图 12 - 6 所示,根据所示程序计算,若输入$x = \sqrt {3}$,则输出结果为2.

答案： 解：因为$\sqrt{3}\gt1$，所以将$x = \sqrt{3}$代入$y = x^2 - 1$。
根据公式$y=x^2 - 1$，此时$x=\sqrt{3}$，则$y = (\sqrt{3})^2 - 1$。
根据$(a^m)^n=a^{mn}$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，所以$y=3 - 1=2$。
故输出结果为$2$。