《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

1. 如图$6 - 3$所示,矩形$ABCD的面积为20 \mathrm { cm } ^ { 2 }$,对角线交于点$O$；以$AB$,$AO为邻边作平行四边形A O C _ { 1 } B$,对角线交于点$O _ { 1 }$；以$AB$,$A O _ { 1 }为邻边作平行四边形A O _ { 1 } C _ { 2 } B$,对角线交于点$O _ { 2 } … …$依此类推,平行四边形$A O _ { 4 } C _ { 5 } B$的面积为(B)
A.$\frac { 5 } { 4 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$
B.$\frac { 5 } { 8 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$

C.$\frac { 5 } { 16 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$
D.$\frac { 5 } { 32 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$

答案： 【解析】：
设平行四边形$AOC_{1}B$的面积为$S_{1}$，
平行四边形$AO_{1}C_{2}B$的面积为$S_{2}$，$\dots$，
平行四边形$AO_{4}C_{5}B$的面积为$S_{5}$。
因为矩形的面积为$20cm^{2}$，
结合矩形的性质可得：
$S_{1}=\frac{1}{2}×20=10cm^{2}$，
由平行四边形的性质可得：
$S_{2}=\frac{1}{2}× S_{1}=\frac{1}{2}×10 =5cm^{2}$，
同理可得$S_{3}=\frac{1}{2}× S_{2}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}cm^{2}$，
$S_{4}=\frac{1}{2}× S_{3}=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}cm^{2}$，
$S_{5}=\frac{1}{2}× S_{4}=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}cm^{2}$。
【答案】：B.$\frac{5}{8}cm^{2}$。

2. 如图$6 - 4$所示,在菱形$ABCD$中,若$\angle B A D = 120 ^ { \circ }$,则对角线$AC与BD$的比是(B)

A.$\sqrt { 3 } : 2$
B.$1 : \sqrt { 3 }$
C.$1 : 2$
D.$\sqrt { 3 } : 1$

答案： 【解析】：
1. 已知菱形$ABCD$中，$\angle BAD = 120^\circ$。由于菱形的对角线互相垂直且平分对角线，我们可以设$AC$与$BD$相交于点$O$。
2. 因为$\angle BAD = 120^\circ$，所以$\angle BAC = \frac{1}{2} × 120^\circ = 60^\circ$。
3. 由于菱形的对角线平分对角线，所以$\angle BCA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。
4. 在直角三角形$AOB$中，$\angle AOB = 90^\circ$，$\angle BAO = 60^\circ$，$\angle ABO = 30^\circ$。
5. 设$AO = x$，则$AB = 2x$（因为$\angle ABO = 30^\circ$，所以$AB$是$AO$的两倍）。
6. 利用勾股定理计算$BO$：$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{4x^2 - x^2} = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}x$。
7. 因此，$AC = 2AO = 2x$，$BD = 2BO = 2\sqrt{3}x$。
8. 所以，$AC$与$BD$的比为$\frac{AC}{BD} = \frac{2x}{2\sqrt{3}x} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 : \sqrt{3}$。
【答案】：B

3. 根据下表中一次函数的自变量$x与函数y$的对应值,可得$p$的值为(A)
|$x$|$-2$|$0$|$1$|
|$y$|$3$|$p$|$0$|
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$

答案： 【解析】：
设一次函数的解析式为$y = kx + b$。
根据表格，当$x = -2$时，$y = 3$；当$x = 1$时，$y = 0$。
代入解析式，得到以下方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 3 \\k + b = 0\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第二个方程，得到 $b = -k$。
将 $b = -k$ 代入第一个方程，得到：
$-2k - k = 3$
$-3k = 3$
$k = -1$
将 $k = -1$ 代入 $b = -k$，得到 $b = 1$。
因此，一次函数的解析式为 $y = -x + 1$。
接下来，当$x = 0$时，代入解析式 $y = -x + 1$，得到 $y = 1$，即 $p = 1$。
【答案】：A

4. 如图$6 - 5$所示,直线$y = k x + b交坐标轴于A(-2,0)$,$B(0,3)$两点,则不等式$k x + b ＞ 0$的解集是(D)

A.$x ＞ 3$
B.$- 2 ＜ x ＜ 3$
C.$x ＜ - 2$
D.$x ＞ - 2$

答案： 【解析】：
由题可知直线$y = kx + b$经过点$A(-2,0)$和点$B(0,3)$。
1. 求直线的斜率$k$：
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - (-2)} = \frac{3}{2}$
2. 代入点$B(0,3)$求截距$b$：
$y = kx + b \Rightarrow 3 = \frac{3}{2} × 0 + b \Rightarrow b = 3$
3. 因此直线的方程为：
$y = \frac{3}{2}x + 3$
4. 要求解不等式$kx + b ＞ 0$，即：
$\frac{3}{2}x + 3 ＞ 0$
移项得：
$\frac{3}{2}x ＞ -3$
两边同时乘以$\frac{2}{3}$得：
$x ＞ -2$
【答案】：D

5. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步$500 \mathrm { m }$,先到终点的人原地休息. 已知甲先出发$2 \mathrm { s }$,在跑步过程中,甲、乙两人的距离$y(\mathrm { m })与乙出发的时间t(\mathrm { s })之间的关系如图6 - 6$所示,给出以下结论：①$a = 8$；②$b = 92$；③$c = 123$. 其中正确的是(C)

A.①②③
B.仅有①②
C.仅有①③
D.仅有②③

答案： 【解析】：由题意和图像可知，甲先出发2秒，乙出发时两人距离为8米，所以甲的速度为$8÷2 = 4$米/秒。
乙出发后100秒时，两人距离为0，即此时乙追上甲。设乙的速度为$v$米/秒，根据路程关系可得：$100v = 4×(100 + 2)$，解得$v = 4.08$米/秒。
乙跑完全程500米所需时间为$500÷4.08\approx122.55$秒，即$c\approx123$，所以③正确。
当乙出发$t$秒时，若乙未到达终点，两人距离$y = 4(t + 2)-vt$（甲在前）或$y = vt - 4(t + 2)$（乙在前）。当$t = 0$时，$y = 8$，符合甲先出发的距离。
乙到达终点时，甲跑的路程为$4×(123 + 2)=500$米，此时甲也刚好到达终点，所以两人距离$b = 0$，故②错误。
综上，①（甲速度4米/秒，出发2秒距离8米，正确）和③正确。
【答案】：C