《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

5. 如图$7 - 12$所示,在$□ ABCD$中,点$E$,$F分别在AB$,$CD$上,且$AE = CF$.求证：$DE = BF$.以下是排乱的证明过程：
①$\because AE = CF$,$\therefore BE = FD$；
②$\because四边形ABCD$是平行四边形,$\therefore AB = CD$,$AB // CD$；
③$\therefore DE = BF$；
④$\therefore四边形EBFD$是平行四边形.
证明步骤正确的顺序是(C)

A.①$\to$②$\to$③$\to$④
B.①$\to$④$\to$②$\to$③
C.②$\to$①$\to$④$\to$③
D.②$\to$④$\to$①$\to$③

答案： 【解析】：要证明$DE = BF$，首先应利用平行四边形的性质。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得$AB = CD$，$AB // CD$，这是步骤②。接着，已知$AE = CF$，用$AB - AE$和$CD - CF$可推出$BE = FD$，即步骤①。由于$AB // CD$，所以$BE // FD$，结合$BE = FD$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形$EBFD$是平行四边形，即步骤④。最后，根据平行四边形对边相等的性质，得出$DE = BF$，即步骤③。所以正确顺序是②$\to$①$\to$④$\to$③。
【答案】：C

1. 如图$7 - 13$所示,有一个高$1.5\mathrm{m}$,半径为$1\mathrm{m}$的圆柱形油桶,在靠近边缘的地方有一个小孔,从孔中插入桶底一根木棒,已知木棒在油桶外的部分是$0.5\mathrm{m}$,求这根木棒的长度范围.

$2\mathrm{m}\leq$木棒长度$\leq3\mathrm{m}$

答案： 【解析】：
设油桶的半径为$R$，高为$h$，木棒在油桶内的部分长度为$l$，木棒的总长度为$L$。
当木棒垂直插入时，木棒在油桶内的部分长度最短，为油桶的高$h$，
此时木棒的总长度为：
$L_{\text{min}} = h + 0.5=1.5+0.5=2$（$\mathrm{m}$）。
当木棒沿着油桶表面斜插到底部时，木棒在油桶内的部分长度最长。
此时，木棒、油桶的高和油桶的直径构成一个直角三角形，
其中木棒为斜边。
根据勾股定理，有：
$l = \sqrt{h^2 + (2R)^2} = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = 2.5$（$\mathrm{m}$）。
此时木棒的总长度为：
$L_{\text{max}} = l + 0.5=2.5+0.5=3$（$\mathrm{m}$）。
因此，木棒的长度范围是$[L_{\text{min}}, L_{\text{max}}]=[2, 3]$（$\mathrm{m}$）。
【答案】：
$[2, 3]\mathrm{m}$