《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

1. 已知直线$l:y = kx + b经过点A(-1,a)和点B(1,a - 4)$,若将直线 l 向上平移 2 个单位后经过原点,则直线 l 的表达式为(D)
A.$y = 2x + 2$
B.$y = 2x - 2$
C.$y = - 2x + 2$
D.$y = - 2x - 2$

答案： 【解析】：
首先，由题目条件知直线$l$经过点$A(-1, a)$和点$B(1, a-4)$，可以将这两点的坐标代入直线方程$y = kx + b$，得到两个方程：
$\begin{cases}-k + b = a \\k + b = a - 4\end{cases}$
解这个方程组，可以得到直线的斜率$k$：
$k = \frac{(a - 4) - a}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2$，
接着，题目提到将直线$l$向上平移2个单位后经过原点。平移后的直线方程可以表示为$y = kx + (b+2)$。
因为平移后的直线经过原点，所以当$x=0$时，$y=0$，代入得到：
$0 = -2 × 0 + (b + 2) \implies b + 2 = 0 \implies b = -2$，
因此，原直线$l$的方程为$y = -2x - 2$。
【答案】：D

2. 如图 12 - 7 所示,在菱形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是菱形四边的中点,连接 EG 与 FH 交于点 O,则图中共有菱形(C)

A.4 个

B.5 个
C.6 个
D.7 个

答案： 【解析】：在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是四边中点，连接EG与FH交于点O。首先，菱形ABCD本身是1个菱形。由于E、F、G、H是中点，根据菱形性质和中点连线定理，EG和FH是菱形的两条中位线，且互相垂直平分。由此可得到四个小菱形：四边形BEOF、四边形OFDG、四边形OGCH、四边形OHAE。此外，连接中点后形成的四边形EFGH也是一个菱形（因为中点连线构成平行四边形，而菱形对角线垂直，所以该平行四边形邻边垂直且相等，为菱形）。综上，共有1（大菱形ABCD）+4（小菱形）+1（中间菱形EFGH）=6个菱形。
【答案】：C

3. 如图 12 - 8 所示,在$□ ABCD$中,$∠ABC$的平分线交 AD 于点 E,$∠BCD$的平分线交 AD 于点 F,若$AB = 3$,$AD = 4$,则 EF 的长是(B)

A.1
B.2
C.2.5
D.3

答案： 【解析】：
四边形ABCD是平行四边形，因此有：
$AD // BC$，
$AB = CD = 3$，
$AD = BC = 4$。
由于BE是∠ABC的角平分线，交AD于E，因此有：
$\angle ABE = \angle CBE$，
由于$AD // BC$，
所以$\angle AEB = \angle CBE$，
从而得出$\angle ABE = \angle AEB$，
所以三角形ABE是等腰三角形，即$AB = AE = 3$。
同理，由于CF是∠BCD的角平分线，交AD于F，可以得到：
$DF = CD = 3$。
由于$AD = 4$，$AE = 3$，$DF = 3$，
可以计算出$EF$的长度：
$EF = AE + DF - AD = 3 + 3 - 4 = 2$。
【答案】：B

4. 如图 12 - 9 所示,$\triangle ABC$的周长为 19,点 D,E 在边 BC 上,$∠ABC$的平分线垂直于 AE,垂足为 N,$∠ACB$的平分线垂直于 AD,垂足为 M,若$BC = 7$,则 MN 的长度为($\frac{5}{2}$)

A.$\frac {3}{2}$
B.2
C.$\frac {5}{2}$
D.3

答案： 【解析】：
已知△ABC的周长为19，BC=7，可得AB+AC=19-7=12。
第一步：证明△ABN≌△EBN
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN。
∵BN⊥AE，
∴∠ANB=∠ENB=90°。
在△ABN和△EBN中：
∠ABN=∠EBN，BN=BN，∠ANB=∠ENB，
∴△ABN≌△EBN（ASA）。
∴AN=EN，AB=BE（全等三角形对应边相等）。
第二步：证明△ACM≌△DCM
同理，CM平分∠ACB，CM⊥AD，
可证△ACM≌△DCM（ASA），
∴AM=DM，AC=CD（全等三角形对应边相等）。
第三步：计算DE的长度
∵AB=BE，AC=CD，AB+AC=12，
∴BE+CD=AB+AC=12。
又
∵BE+CD=BC+DE（重叠部分为DE），BC=7，
∴12=7+DE，解得DE=5。
第四步：确定MN是△ADE的中位线
∵AN=EN（N是AE中点），AM=DM（M是AD中点），
∴MN是△ADE的中位线。
∴MN=1/2 DE=1/2×5=5/2。
【答案】：$\frac{5}{2}$

5. 如图 12 - 10 所示,已知直线$y_{1}= x + m与y_{2}= kx - 1相交于点P(-1,1)$,则关于 x 的不等式$x + m＞kx - 1$的解集在数轴上表示正确的是图 12 - 11 中的(A)

答案： 【解析】：
点 $P(-1,1)$ 是直线 $y_1 = x + m$ 和 $y_2 = kx - 1$ 的交点。
将点 $P$ 的坐标代入两直线方程：
对于 $y_1 = x + m$，有 $1 = -1 + m$，解得 $m = 2$。
对于 $y_2 = kx - 1$，有 $1 = -k - 1$，解得 $k = -2$。
因此，直线方程分别为 $y_1 = x + 2$ 和 $y_2 = -2x - 1$。
要使 $x + 2 ＞ -2x - 1$，解这个不等式：
$x + 2 ＞ -2x - 1$
$3x ＞ -3$
$x ＞ -1$
因此，解集为 $x ＞ -1$。
在数轴上表示为从 $-1$ 开始向右的区间，包含 $-1$ 的空心点。
【答案】：B