《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 如图8-10所示,在$□ ABCD$中,$E$,$F分别为边AB$,$CD$的中点,$BD$是对角线,$AG// DB交CB的延长线于点G$.
(1)求证：$\triangle ADE\cong \triangle CBF$；
(2)若四边形$BEDF$是菱形,则四边形$AGBD$是什么特殊的四边形？矩形证明你的结论.

答案： 【解析】：
(1)因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle DAB=\angle BCD$。又因为$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，故$AE = CF$。在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CB\\\angle DAE=\angle BCF\\AE = CF\end{array}\right.$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CBF(SAS)$。
(2)四边形$AGBD$是矩形。证明如下：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AD// BG$，又因为$AG// DB$，所以四边形$AGBD$是平行四边形。因为四边形$BEDF$是菱形，所以$BE = DE$。因为$E$是$AB$的中点，所以$AE = BE$，故$AE = DE$，所以$\angle EAD=\angle EDA$。同理，$\angle EBA=\angle EAB$。在$\triangle ABD$中，$\angle DAB+\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}$，即$2\angle EAD + 2\angle EBA=180^{\circ}$，所以$\angle EAD+\angle EBA = 90^{\circ}$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以平行四边形$AGBD$是矩形。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)矩形，证明见解析

一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始的3min内只进水不出水,在随后的9min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量都是常数. 容器内的水量$y$(单位：L)与时间$x$(单位：min)之间的关系如图8-11所示. 当容器内的水量大于5L时,求时间$x$的取值范围.1＜x＜9

答案： 【解析】：
由图知，$0\leq x\leq3$时，容器内的水量只与进水量有关、呈线性增长，$3\lt x\leq12$时，容器内的水量与进水量和出水量都有关。
$0\leq x\leq3$时，设$y=k_1x$（$k_1\neq0），$
将$(3,15)$代入得$15=3k_1$，
解得$k_1=5$，
所以$y=5x$，令$y=5$，则$5=5x$，
解得$x=1$，
即$0\leq x\leq3$时，$x\gt1$时容器内的水量大于5L。
$3\lt x\leq12$时，设$y=k_2x+b$（$k_2\neq0）$，
将$(3,15)$，$(12,0)$代入得$\begin{cases}15=3k_2+b,\\0=12k_2+b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{5}{3},\\b=20.\end{cases}$
所以$y=-\frac{5}{3}x+20$，
令$y=5$，则$5=-\frac{5}{3}x+20$，
解得$x=9$，
即$3\lt x\leq12$时，$x\lt9$时容器内的水量大于5L。
综合上述分析，当容器内的水量大于5L时，时间$x$的取值范围是$1\lt x\lt9$。
【答案】：
$1\lt x\lt9$