《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 如图$10 - 11$所示,四边形$ABCD$是矩形,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$B E // A C交DC的延长线于点E$.
(1)求证：$B D = B E$；
(2)若$ \angle D B C = 3 0 ^ { \circ }$,$B O = 4$,求四边形$ABED$的面积.$24\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
(1)证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC = BD$，$AB// CD$。又因为$BE// AC$，所以四边形$ABEC$是平行四边形，因此$AC = BE$，故$BD = BE$。
(2)解：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$BO = OD$，$AC = BD$，$\angle BCD = 90^{\circ}$。已知$BO = 4$，则$BD = 2BO = 8$。因为$\angle DBC = 30^{\circ}$，所以$CD=\frac{1}{2}BD = 4$，$BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$。由
(1)知四边形$ABEC$是平行四边形，所以$AB = CE$，又因为$AB = CD = 4$，所以$DE = CD + CE=4 + 4=8$。四边形$ABED$的面积为梯形$ABED$的面积，上底$AB = 4$，下底$DE = 8$，高为$BC = 4\sqrt{3}$，根据梯形面积公式可得$\frac{(4 + 8)×4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)$24\sqrt{3}$

4. 已知$A$,$B两地之间有一条长300\mathrm{km}$的公路,甲车从$A地出发匀速开往B$地,甲车出发$2\mathrm{h}$后,乙车从$B地出发匀速开往A$地,两车同时到达各自的目的地. 两车行驶的路程之和$y$($\mathrm{km}$)与甲车行驶的时间$x$($\mathrm{h}$)之间的函数关系如图$10 - 12$所示.
(1)$a$的值为600；
(2)求乙车出发后,$y与x$之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两车相距$100\mathrm{km}$时,求甲车行驶的时间.

答案： 【解析】：
(1) 由图像可知，甲车出发2小时后，行驶的路程为100km，所以甲车的速度为$100÷2 = 50$km/h。甲车从A地到B地全程300km，所用总时间为$300÷50 = 6$h，即甲车行驶时间x=6h时到达目的地，此时两车行驶路程之和y=a。因为两车同时到达各自目的地，乙车比甲车晚出发2h，所以乙车行驶时间为$6 - 2 = 4$h，乙车行驶路程为300km，所以乙车速度为$300÷4 = 75$km/h。当x=6h时，甲车行驶300km，乙车行驶300km，所以$a = 300 + 300 = 600$。
(2) 乙车出发后，即x≥2时。设y与x之间的函数关系式为$y = kx + b$。当x=2时，y=100；当x=6时，y=600。将$(2,100)$和$(6,600)$代入得：$\begin{cases}2k + b = 100 \\ 6k + b = 600\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 125 \\ b = -150\end{cases}$，所以函数关系式为$y = 125x - 150$（$2\leq x\leq6$）。
(3) 分两种情况：
① 相遇前相距100km：两车行驶路程之和为$300 - 100 = 200$km。由
(2)知乙车出发后y=125x - 150，令$125x - 150 = 200$，解得$x = 2.8$h。
② 相遇后相距100km：两车行驶路程之和为$300 + 100 = 400$km。令$125x - 150 = 400$，解得$x = 4.4$h。
另外，乙车出发前（x＜2），甲车单独行驶，路程小于100km，两车相距大于200km，不可能相距100km，所以舍去。综上，甲车行驶时间为2.8h或4.4h。
【答案】：
(1)600；
(2)$y = 125x - 150$（$2\leq x\leq6$）；
(3)2.8h或4.4h

在正式出版物中,你认为“的”和“了”哪个汉字使用得多？请你设计一个调查方案.

答案： 【解析】：要探究“的”和“了”在正式出版物中哪个使用得多，需通过科学抽样和统计分析来实现。首先明确调查对象为正式出版物，涵盖不同类别以保证代表性；接着确定抽样方法，按比例从各类别中抽取样本；然后对样本进行文本处理，统计两个字的出现频次；最后比较频次得出结论。
【答案】：调查方案如下：
1. 调查目的：比较“的”和“了”在正式出版物中的使用频次。
2. 调查对象：选取不同类型的正式出版物，包括但不限于学术著作（如各学科教材、专著）、文学作品（如经典小说、散文）、新闻报道（如权威报纸期刊的文章）、政府公文（如政策文件、工作报告）等。
3. 抽样方法：
按出版物类型分层，确定各类型在总样本中的比例（如学术著作占30%、文学作品占25%、新闻报道占25%、政府公文占20%）。
在每一层中，采用随机抽样的方式选取具体出版物，例如从国家图书馆馆藏目录或权威数据库中随机抽取一定数量的样本。
对于单本字数较多的出版物，可随机抽取其中部分章节（如每本书随机抽取3 - 5个完整章节）作为分析样本，确保样本量适中且具有代表性（如总样本字数不少于100万字）。
4. 数据收集与处理：
将选取的文本样本转换为可编辑的电子文本格式。
使用文本分析软件（如Python的jieba库结合自定义脚本，或专业的语料库分析工具）对文本进行分词处理，并分别统计“的”和“了”两个汉字出现的次数。
人工核对部分样本数据，确保统计结果的准确性（如检查软件是否误判或漏判）。
5. 数据分析：计算“的”和“了”在总样本中的总出现频次，比较两者数值大小。若“的”的频次高于“了”，则“的”使用得多；反之则“了”使用得多；若频次接近，需进一步分析不同类型出版物中的差异。
6. 结论与报告：根据数据分析结果，得出“的”和“了”在正式出版物中使用频次的比较结论，并撰写调查报告，说明调查过程、方法、结果及可能存在的误差。