《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

1. 已知 a,b,c 是$\triangle ABC$的三边长,并且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}= a^{4}-b^{4}$,试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 【解析】：已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$。
首先，对等式左边提取公因式$c^{2}$，可得：$c^{2}(a^{2}-b^{2})$；
等式右边利用平方差公式分解因式，$a^{4}-b^{4}=(a^{2})^{2}-(b^{2})^{2}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$；
所以原等式可化为：$c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$；
将右边的$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$移到左边，得到：$c^{2}(a^{2}-b^{2})-(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=0$；
提取公因式$(a^{2}-b^{2})$，则有：$(a^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2}-b^{2})=0$；
因为$a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b)$，所以$(a - b)(a + b)(c^{2}-a^{2}-b^{2})=0$；
由于$a$，$b$是三角形的边长，所以$a + b＞0$，那么要使等式成立，只能是$a - b = 0$或$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$；
当$a - b = 0$时，$a = b$，此时$\triangle ABC$是等腰三角形；
当$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$时，$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，根据勾股定理的逆定理，此时$\triangle ABC$是直角三角形；
综上，$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形。
【答案】：等腰三角形或直角三角形

2. 某校为了解“课程选修”的情况,对报名参加“艺术鉴赏”“科技制作”“数学思维”和“阅读写作”这四个选修课程的学生(每人限报一个)进行抽样调查,图 12 - 12 是根据收集的数据绘制的不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解答下列问题：
(1)此次共调查了200名学生,扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是144度；
(2)请把这个条形统计图补充完整；
(3)现该校共有 800 名学生报名参加这四个选修课程,请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”课程.

答案： 【解析】：
（1）根据阅读写作的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，
然后计算出“艺术鉴赏”部分的圆心角的度数：
由题意可得，此次调查的学生有：$50÷25\%=200$（名），
扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是：$360^{\circ}×\frac{80}{200}=144^{\circ}$。
所以答案为：200；144。
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以计算出数学思维的人数，
从而可以将条形统计图补充完整：
数学思维的人数有：$200-80-30-50=40$（人）。
补全的条形统计图如右图所示。
（3）根据统计图中的数据可以计算出有多少名学生选修“科技制作”课程：
由题意可得，$800×\frac{30}{200}=120$（名）。
即有120名学生选修“科技制作”课程。
【答案】：
（1）200；144
（2）补全的条形统计图如右图所示
（3）120