《2025年拔尖特训七年级数学上册苏科版》

4. 现有一项工程,甲单独做10天能完成,乙单独做15天能完成,甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元,甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬.
答案讲解
(1)甲、乙合作多少天能完成此项工程?
(2)求甲做一天需要的报酬.
(3)为了节省开支,应在甲单独完成、乙单独完成和甲、乙合作完成这三种方案中选择哪种?请通过计算说明.

答案：
(1)设甲、乙合作x天能完成此项工程.依题意，得$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=1$，解得x=6.所以甲、乙合作6天能完成此项工程.
(2)设甲做一天需要y元的报酬，则乙做一天需要(y-100)元的报酬.依题意，得(y+y-100)×6=5400，解得y=500.所以甲做一天需要的报酬为500元.
(3)甲单独完成需要的报酬为500×10=5000(元)；乙单独完成需要的报酬为(500-100)×15=6000(元).因为5000＜5400＜6000，所以为了节省开支，应选择甲单独完成.

5. 甲、乙两城相距800 km,一辆客车从甲城开往乙城,车速为a km/h(0＜a＜100),同时一辆出租车从乙城开往甲城,车速为90 km/h,设客车的行驶时间为t h.
(1)当t= 5时,客车与乙城的距离为(800-5a)km(用含a的代数式表示).
(2)已知a= 70,丙城在甲、乙两城之间,且与甲城相距260 km.
①当客车与出租车相距100 km时,求客车的行驶时间.
②已知客车和出租车在甲、乙两城之间的服务站M处相遇时,出租车乘客小王突然接到开会通知,需要立即返回,此时小王有两种返回乙城的方案:
方案一:继续乘坐出租车到丙城,加油后立刻返回乙城,出租车加油时间忽略不计;
方案二:在M处换乘客车返回乙城.
试通过计算,分析小王选择哪种方案能更快到达乙城.
(2)①当客车和出租车没有相遇时，70t+90t+100=800，解得t=4.375.当客车和出租车相遇后，70t+90t-100=800，解得t=5.625.所以当客车与出租车相距100km时，客车的行驶时间是4.375h或5.625h.
②设客车和出租车x h相遇.所以70x+90x=800，解得x=5.此时客车行驶的路程为70×5=350(km)，出租车行驶的路程为90×5=450(km)，所以丙城与M处之间的距离为350-260=90(km).
方案一:小王需要的时间是(90+90+450)÷90=7(h)；
方案二:小王需要的时间是450÷70=$\frac{45}{7}$(h).因为7＞$\frac{45}{7}$，所以小王选择方案二能更快到达乙城.

答案：
(1)(800-5a).
(2)①当客车和出租车没有相遇时，70t+90t+100=800，解得t=4.375.当客车和出租车相遇后，70t+90t-100=800，解得t=5.625.所以当客车与出租车相距100km时，客车的行驶时间是4.375h或5.625h.
②设客车和出租车x h相遇.所以70x+90x=800，解得x=5.此时客车行驶的路程为70×5=350(km)，出租车行驶的路程为90×5=450(km)，所以丙城与M处之间的距离为350-260=90(km).
方案一:小王需要的时间是(90+90+450)÷90=7(h)；
方案二:小王需要的时间是450÷70=$\frac{45}{7}$(h).因为7＞$\frac{45}{7}$，所以小王选择方案二能更快到达乙城.