《2025年拔尖特训七年级数学上册苏科版》

12. 长分别为 a,b 的两条线段如图所示,根据下列要求画图或计算.
(1)根据下列步骤,画出一条线段 OA,使它的长等于 3a-b.
① 作出射线 OP；② 在射线 OP 上依次截取 OB= BC= CD= a；③ 在线段 DO 上截取 DA= b,则线段 OA 即为所求.
(2)若 a= 2,b= 3,M 是线段 OA 的中点,求线段 OM 的长.
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答案：

(1)线段OA如图所示.

(2)因为a=2,b=3,所以OA=3a−b=3.因为M是线段OA的中点，所以OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$.

13. 如图,C 为线段 AB 上一点,点 D 在线段 AC 上,且 AD= $\frac{2}{3}$AC,E 为 BC 的中点.
(1)若 AC= 6,BE= 1,求线段 AB,DE 的长.
(2)试说明:AB+BD= 4DE.
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答案：
(1)因为E为BC的中点，BE=1,所以BC=2BE=2,CE=BE=1.因为AC=6,所以AB=AC+BC=6+2=8.因为AD=$\frac{2}{3}$AC,AC=6,所以AD=4.所以DC=AC−AD=6−4=2.所以DE=DC+CE=2+1=3.
(2)因为AB=AC+BC,BD=BC+CD,所以AB+BD=AC+BC+BC+CD.因为AD=$\frac{2}{3}$AC,E为BC的中点，所以AC=3CD,BC=2CE.所以AB+BD=3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4(CD+CE)=4DE.

14. (2023·南京建邺期末)如图,有公共端点 P 的两条线段 MP,NP 组成一条折线 M-P-N,若该折线上一点 Q 把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点叫作这条折线的“折中点”.已知 D 是折线 A-C-B 的“折中点”,E 为线段 AC 的中点,CD= 3,CE= 5,则线段 BC 的长为______4或16.
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答案： 4或16　解析:①如图①,CD=3,CE=5,因为D是折线A−C−B的“折中点”,所以AD=CD+BC.因为E为线段AC的中点,所以AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=5.所以AC=10.所以AD=AC−CD=7.所以CD+BC=7.所以BC=4.②如图②,CD=3,CE=5,因为D是折线A−C−B的“折中点”,所以BD=CD+AC.因为E为线段AC的中点,所以AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=5.所以AC=10.所以CD+AC=13.所以BD=13.所以BC=BD+CD=16.综上所述，BC的长为4或16.

15. (1)如图,点 C 在线段 AB 上,线段 AC= 8,BC= 6,M,N 分别是 AC,BC 的中点,求 MN 的长.
(2)根据(1)中的计算过程与结果,设 AC+BC= a,其他条件不变,请直接写出 MN 的长.
(3)若把(1)中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,且满足 AC-BC= b,你能猜想出 MN 的长吗? 写出你的结论,并说明理由.
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答案：
(1)因为M,N分别是AC,BC的中点，所以MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4,NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3.所以MN=MC+NC=4+3=7.
(2)MN=$\frac{1}{2}$a.
(3)MN=$\frac{1}{2}$b.
理由:如图，因为M,N分别是AC，BC的中点，所以MC=$\frac{1}{2}$AC,NC=$\frac{1}{2}$BC.因为AC−BC=b,所以MN=MC−NC=$\frac{1}{2}$AC−$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$b.