《2025年拔尖特训七年级数学上册苏科版》

8. 如图,在三角形 ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 12,AC= 16,AB= 20,D 是边 AB 上的动点,则线段 CD 长的最小值是______9.6.
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答案： 9.6　解析:由垂线段最短，可知当CD⊥AB时，CD的长度最小，如图.
因为∠ACB=90°，所以S_{三角形ABC}= $\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CD.所以$\frac{1}{2}$×16×12=$\frac{1}{2}$×20×CD.所以CD=9.6.

9. 易错题 在同一平面内,线段 AB 的长为 10 cm,点 A,B 到直线 l 的距离分别为 6 cm 和 4 cm,则符合条件的直线 l 的条数为3.

答案： 3　解析:在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线，作线段AB的垂线，将线段AB的长分成6cm和4cm的两部分.综上所述，符合条件的直线l的条数为3.
易错警示
因不能正确画出图形而导致错误
解决这类问题时，往往会出现漏解的现象，究其原因是不能根据问题的条件画出所有符合要求的图形.解答本题时，由于6+4=10(cm)，因此可考虑直线除了在线段的两旁以外，还有可能与线段相交.

10. 如图,网格线的交点叫作格点,∠AOB 的边 OB 上的一点 P 在格点上(请利用网格作图,保留作图痕迹).
(1)过点 P 画 OB 的垂线,交 OA 于点 C.
(2)过点 P 画 OA 的垂线,垂足为 H.
(3)线段 PH 的长是点 P 到直线______的距离,线段______的长是点 C 到直线 OB 的距离,因为______,所以线段 PC,PH,OC 这三条线段的大小关系是______(用“＜”连接).
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答案：

(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)OA;PC;垂线段最短;PH＜PC＜OC.

11. 如图,将三角尺 COD 的直角顶点 O 放在直线 AB 上.
(1)若线段 OC 的长是点 C 到直线 AB 的距离,则点 D 在直线 AB上(填“上”或“外”).
(2)比较 CD 与 OD 的长,并说明理由.
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(2)CD＞OD.理由:因为OD⊥OC，所以点D与OC上各点连接的所有线段中，垂线段OD最短.所以CD＞OD.

答案：
(1)上.　解析:因为线段OC的长是点C到直线AB的距离，所以OC⊥OB.因为OC⊥OD，所以OB，OD在一条直线上.所以点D在直线AB上.
(2)CD＞OD.
理由:因为OD⊥OC，
所以点D与OC上各点连接的所有线段中，垂线段OD最短.
所以CD＞OD.

12. 如图,平原上有 A,B,C,D 四个村庄,EF 为河岸,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池 H 的位置,使它到四个村庄的距离之和最小.
(2)计划把河水引入蓄水池 H 中,怎样开渠能使渠道最短？
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答案：

(1)如图，点H即为所求.
(2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，沿线段HG开渠能使渠道最短.

13. 如图,A,B,C 是平面内三点.
(1)按要求作图：① 作射线 BC,过点 B 作直线 l,使 A,C 两点在直线 l 两旁；② P 为直线 l 上任意一点,Q 为射线 BC 上任意一点,连接 AP,PQ.
(2)在(1)所作图形中,若点 A 到直线 l 的距离为 2,点 A 到射线 BC 的距离为 5,点 A,B 之间的距离为 8,点 A,C 之间的距离为 6,则 AP+PQ 的最小值为______,依据是______.
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答案：

(1)画法不唯一，如图①所示.
(2)5;垂线段最短.　解析:如图②，当AQ⊥BC交直线l于点P时，AP+PQ的值最小，因为点A到射线BC的距离为5，所以AP+PQ的最小值为5.依据是垂线段最短.