《2025年拔尖特训七年级数学上册苏科版》

11. 如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,∠BOE= ∠COF= 90°.
(1)图中∠AOF 的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD(把符合条件的角都填出来).
(2)图中除直角相等外,还有相等的角,请写出三对.∠COE=∠BOF，∠AOD=∠COB，∠AOF=∠DOE
(3)① 如果∠AOD= 140°,那么根据同角的补角相等,可得∠BOC=140°.
② 如果∠EOF= $\frac{1}{5}∠AOD$,求∠EOF 的度数.设∠EOF=x°，则∠AOD=(5x)°.由题意，得∠DOF=180°−∠COF=90°.因为∠EOF+∠DOE=90°，∠DOE+∠BOD=90°，所以∠BOD=∠EOF=x°.又因为∠AOD+∠BOD=180°，所以5x+x=180，解得x=30.所以∠EOF=30°.

答案：
(1)∠AOC，∠EOF，∠BOD.
(2)答案不唯一，如∠COE=∠BOF，∠AOD=∠COB，∠AOF=∠DOE.
(3)①同角的补角相等；140.
②设∠EOF=x°，则∠AOD=(5x)°.由题意，得∠DOF=180°−∠COF=90°.因为∠EOF+∠DOE=90°，∠DOE+∠BOD=90°，所以∠BOD=∠EOF=x°.又因为∠AOD+∠BOD=180°，所以5x+x=180，解得x=30.所以∠EOF=30°.

12. (2023·宿迁沭阳期末)两个直角三角形按如图①所示的方式摆放,∠AOB= ∠OCD= 90°,∠OAB= 45°,∠COD= 60°,将边 OA,OC 重合在直线 MN 上,边 OB,OD 在直线 MN 的两侧.
(1)保持三角形 AOB 不动,将三角形 COD 绕点 O 旋转至如图②所示的位置,则∠BOC-∠AOD= ______°.30
(2)保持三角形 AOB 不动,将三角形 COD 绕点 O 按逆时针方向旋转α(α＜180°),试探究∠BOC 与∠AOD 之间的数量关系.∠BOC−∠AOD=30°或∠BOC+∠AOD=30°或∠AOD−∠BOC=30°
(3)若三角形 COD 以每分钟 15°的速度绕点 O 按逆时针方向旋转,同时,三角形 AOB 以每分钟 9°的速度也绕点 O 按逆时针方向旋转,多少分钟时,边 OD 第一次与边 OB 重合？25

答案：
(1)30.　解析:因为∠BOC=∠AOB−∠COA，∠AOD=∠COD−∠COA，所以∠BOC−∠AOD=(∠AOB−∠COA)−(∠COD−∠COA)=∠AOB−∠COD=90°−60°=30°.
(2)由题意，得∠COA=α.
①当0°＜α≤60°时，如题图②，由
(1)，得∠BOC−∠AOD=30°.
②当60°＜α≤90°时，如图①，∠BOC=90°−α，∠AOD=α−60°，所以∠BOC+∠AOD=90°−α+α−60°=30°.
③当90°＜α＜180°时，如图②，∠BOC=α−90°，∠AOD=α−60°，所以∠AOD−∠BOC=α−60°−(α−90°)=30°.
综上所述，∠BOC与∠AOD之间的数量关系为∠BOC−∠AOD=30°或∠BOC+∠AOD=30°或∠AOD−∠BOC=30°.
(3)因为三角形COD以每分钟15°的速度旋转，所以OD以每分钟15°的速度旋转.同理，OB以每分钟9°的速度旋转.因为∠BOD=∠BOA+∠AOD=90°+60°=150°，所以150÷(15−9)=25(分钟).所以25分钟时，边OD第一次与边OB重合.