《2025年拔尖特训七年级数学上册苏科版》

10. 新考法·新定义题 (2023·盐城大丰期末)如图①,OC 是∠AOB 内部的一条射线,图中有三个角：∠AOB,∠AOC 和∠BOC,当其中一个角是另一个角的两倍时,称射线 OC 为∠AOB 的“巧分线”. 如图②,如果∠MPN= 60°,PQ 是∠MPN 的“巧分线”,那么∠MPQ 的度数为20°或30°或40°.

答案： 20°或30°或40° 解析：因为∠MPN=60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，所以由“巧分线”的定义，可知有三种情况符合题意：①当∠NPQ=2∠MPQ时，∠MPN=∠MPQ+∠NPQ=3∠MPQ=60°，解得∠MPQ=20°；②当∠MPN=2∠MPQ时，∠MPQ=$\frac{1}{2}$∠MPN=30°；③当∠MPQ=2∠NPQ时，∠MPN=∠MPQ+∠NPQ=$\frac{3}{2}$∠MPQ=60°，解得∠MPQ=40°. 综上所述，∠MPQ=20°或30°或40°.

11. 以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OP,使∠AOP：∠BOP= 3：2. 若∠AOB= 50°,则∠AOP 的度数为______30°或150°.

答案： 30°或150° 解析：因为∠AOP：∠BOP=3：2，所以∠BOP=$\frac{2}{3}$∠AOP. 当OP在∠AOB的内部时，∠AOB=∠AOP+∠BOP=$\frac{5}{3}$∠AOP=50°，所以∠AOP=30°. 当OP在∠AOB的外部时，∠AOB=∠AOP-∠BOP=$\frac{1}{3}$∠AOP，所以∠AOP=150°. 综上所述，∠AOP的度数为30°或150°.

12. 如图,∠AOB= 120°,∠AOD= 2∠BOD.
(1)求∠AOD 的度数.
(2)从点 O 引射线 OC,若∠AOC：∠COB= 1：3,求∠COD 的度数.

答案：
(1) 因为∠AOD=2∠BOD，所以∠AOD=$\frac{2}{3}$∠AOB. 因为∠AOB=120°，所以∠AOD=$\frac{2}{3}$×120°=80°.
(2) 当OC在∠AOB的内部时，因为∠AOC：∠COB=1：3，所以∠AOC=$\frac{1}{4}$∠AOB. 因为∠AOB=120°，所以∠AOC=$\frac{1}{4}$×120°=30°. 由
(1)，得∠AOD=80°. 所以∠COD=∠AOD-∠AOC=80°-30°=50°. 当OC在∠AOB的外部时，因为∠AOC：∠COB=1：3，所以∠AOC：∠AOB=1：2. 因为∠AOB=120°，所以∠AOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°. 所以∠COD=∠AOD+∠AOC=80°+60°=140°. 综上所述，∠COD的度数为50°或140°.

13. 如图,在同一平面内,∠AOB= 90°,∠AOC= 25°,∠COD= 50°,∠BOD＞15°,求∠BOD 的度数.

答案：
如图①，当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，因为∠AOC=25°，∠COD=50°，所以∠AOD=∠COD-∠AOC=25°. 因为∠AOB=90°，所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=65°. 如图②，当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，因为∠AOC=25°，∠COD=50°，所以∠AOD=∠AOC+∠COD=75°. 因为∠AOB=90°，所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=165°. 如图③，当OC在∠AOB的内部时，OD在∠AOB的外部，因为∠AOC=25°，∠COD=50°，所以∠AOD=∠COD-∠AOC=25°. 因为∠AOB=90°，所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=115°. 综上所述，∠BOD的度数为65°或115°或165°.

14. 某同学晚上 6 点多钟开始做作业,他家墙上时钟的时针和分针的夹角是 120°,他做完作业后还是 6 点多钟,且时针和分针的夹角还是 120°,此同学做作业大约用了 (C)
A.40 分钟
B.42 分钟
C.44 分钟
D.46 分钟

答案： C 解析：设时针转了x°，则分针转了（120+120+x）°，即（240+x）°. 由题意，得$\frac{x}{30}$=$\frac{240+x}{360}$，解得x=$\frac{240}{11}$. 因为时针每小时转30°，所以用了$\frac{240}{11}$÷30×60=$\frac{480}{11}$（分钟），大约为44分钟.

15. 将∠AOB,∠COD 按如图①所示的方式摆放,将边 OA,OC 重合在直线 MN 上,边 OB,OD 在直线 MN 的两侧,∠AOB= 90°,∠COD= 60°.
(1)保持∠AOB 不动,将∠COD 绕点 O 旋转至如图②所示的位置,则∠AOC + ∠BOD= ______150°,∠BOC - ∠AOD= ______30°.
(2)若∠COD 按每分钟 5°的速度绕点 O 按逆时针方向旋转,∠AOB 按每分钟 2°的速度也绕点 O 按逆时针方向旋转,当 OC 旋转到射线 ON 上时都停止旋转,设旋转时间为 t 分钟,求∠MOC - ∠AOD 的度数(用含 t 的代数式表示).

因为旋转时间为t分钟，所以∠MOC=（5t）°，易得0＜t≤36. ①当OD与OA相遇前，易得0＜t＜20，此时，∠AOD=（60+2t-5t）°=（60-3t）°，所以∠MOC-∠AOD=（8t-60）°. ②当OD与OA相遇及相遇后，易得20≤t≤36，此时，∠AOD=[5t-（60+2t）]°=（3t-60）°，所以∠MOC-∠AOD=（2t+60）°. 综上所述，∠MOC-∠AOD的度数为（8t-60）°或（2t+60）°.

答案：
(1) 150°；30°. 解析：∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOB=∠COD+∠AOB=60°+90°=150°，∠BOC-∠AOD=（∠AOB-∠AOC）-（∠COD-∠AOC）=∠AOB-∠AOC-∠COD+∠AOC=∠AOB-∠COD=90°-60°=30°.
(2) 因为旋转时间为t分钟，所以∠MOC=（5t）°，易得0＜t≤36. ①当OD与OA相遇前，易得0＜t＜20，此时，∠AOD=（60+2t-5t）°=（60-3t）°，所以∠MOC-∠AOD=（8t-60）°. ②当OD与OA相遇及相遇后，易得20≤t≤36，此时，∠AOD=[5t-（60+2t）]°=（3t-60）°，所以∠MOC-∠AOD=（2t+60）°. 综上所述，∠MOC-∠AOD的度数为（8t-60）°或（2t+60）°.