《2025年拔尖特训七年级数学上册苏科版》

10. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OF⊥CD,OE 平分∠BOD.
(1)若∠AOC= 68°,求∠EOF 的度数.
(2)若∠BOE 比∠BOF 大 24°,求∠COE 的度数.

答案： 10.
(1) 因为$\angle AOC=68^{\circ}$,所以$\angle AOC=\angle BOD=68^{\circ}$. 因为 OE 平分$\angle BOD$,所以$\angle DOE=\frac{1}{2}\angle BOD=34^{\circ}$. 因为 $OF \perp CD$,所以$\angle DOF=90^{\circ}$. 所以$\angle EOF=\angle DOF - \angle DOE=56^{\circ}$.
(2) 设$\angle BOF=x^{\circ}$. 因为$\angle BOE$比$\angle BOF$大$24^{\circ}$,所以$\angle BOE=(x + 24)^{\circ}$. 因为 OE 平分$\angle BOD$,所以$\angle BOE=\angle DOE=(x + 24)^{\circ}$. 因为$\angle DOF=90^{\circ}$,所以$\angle DOE + \angle BOE + \angle BOF=90^{\circ}$. 所以$(x + 24)+(x + 24)+x=90$,解得$x=14$. 所以$\angle DOE=(x + 24)^{\circ}=38^{\circ}$. 所以$\angle COE=180^{\circ} - \angle DOE=142^{\circ}$.

11. 如图,直线 AB 和 CD 交于点 O,射线 OE,OF 在∠AOD 的内部.
(1)若∠BOD= 50°,∠COE= 115°,求∠AOE 的度数.
(2)若 OE 平分∠AOD,OF⊥CD,∠BOD= α,求∠EOF 的度数(用含α的式子表示).

答案： 11.
(1) 因为直线 AB 和 CD 交于点 O,$\angle BOD=50^{\circ}$,所以$\angle AOC=\angle BOD=50^{\circ}$. 因为$\angle COE=115^{\circ}$,所以 $\angle AOE=\angle COE - \angle AOC=115^{\circ} - 50^{\circ}=65^{\circ}$.
(2) 因为直线 AB 和 CD 交于点 O,$\angle BOD=\alpha$,所以 $\angle AOD=180^{\circ} - \angle BOD=180^{\circ} - \alpha$. 因为 OE 平分$\angle AOD$,所以 $\angle DOE=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - \alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$. 因为 $OF \perp CD$,所以$\angle DOF=90^{\circ}$. 所以 $\angle EOF=\angle DOF - \angle DOE=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}$.

12. 如图,∠AOC= 40°,BO⊥CO,OD 平分∠AOB,则∠COD 的度数为______.

25°

答案： $25^{\circ}$ 解析:因为 $BO \perp CO$,所以$\angle BOC=90^{\circ}$. 所以 $\angle AOB=\angle BOC+\angle AOC=90^{\circ} + 40^{\circ}=130^{\circ}$. 因为 OD 平分$\angle AOB$,所以$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$. 所以$\angle COD=\angle AOD - \angle AOC=65^{\circ} - 40^{\circ}=25^{\circ}$.

13. 如图,线段 OA,OB,OC,OD,OE 在同一平面内,且∠AOE= 110°,∠AOB= 20°.
(1)若 OB 平分∠AOC,求∠COE 的度数.
(2)在(1)的条件下,若 OD 平分∠BOE,求∠COD 的度数.
(3)若线段 OA 与 OB 分别为同一钟表上的时针与分针,则经过多长时间,OA 与 OB 第一次垂直？

答案： 13.
(1) 因为 OB 平分$\angle AOC$,$\angle AOB=20^{\circ}$,所以$\angle AOC=2\angle AOB=40^{\circ}$. 因为$\angle AOE=110^{\circ}$,所以 $\angle COE=\angle AOE - \angle AOC=110^{\circ} - 40^{\circ}=70^{\circ}$.
(2) 因为$\angle AOE=110^{\circ}$,$\angle AOB=20^{\circ}$,所以$\angle BOE=\angle AOE - \angle AOB=90^{\circ}$. 因为 OD 平分$\angle BOE$,OB 平分$\angle AOC$,所以 $\angle BOD=\frac{1}{2}\angle BOE=45^{\circ}$,$\angle BOC=\angle AOB=20^{\circ}$. 所以$\angle COD=\angle BOD - \angle BOC=25^{\circ}$.
(3) 设经过 $x$ min,OA 与 OB 第一次垂直. 由题意,易得 $6x-\frac{1}{2}x=90 + 20$,解得$x=20$. 所以经过 20 min,OA 与 OB 第一次垂直.