《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

23. 设题新角度 综合与实践 ($11$分)综合与实践.
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程.
动手操作：步骤一：将正方形纸片$ABCD$(边长为$4\ {cm}$)对折，使得点$A$与点$D$重合，折痕为$EF$，再将纸片$ABCD$展开，得到图$1$.
步骤二：将图$1$中的纸片$ABCD$的右上角沿着$CE$折叠，使点$D$落到点$G$的位置，展开后，连接$EG$，$CG$，得到图$2$.
步骤三：在图$2$的基础上，延长$EG$与边$AB$交于点$H$，得到图$3$.
问题解决：
(1)在图$3$中，连接$HC$，则$\angle ECH$的度数为$45^{\circ}$；
(2)在图$3$的基础上，延长$CG$与边$AB$交于点$M$，如图$4$，试猜想$AM$与$BM$之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图$4$中的正方形纸片$ABCD$过点$G$折叠，使点$A$落在边$AD$上，然后再将正方形纸片$ABCD$展开，折痕$PQ$分别与边$AD$，$BC$交于点$P$，$Q$，如图$5$，求$GQ$的长.

答案： 23.解：
(1)$45^{\circ}$
[解析]
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC = CD，∠D = ∠BCD = ∠B = 90°.
由折叠的性质，得∠D = ∠CGE = 90°，
∠ECD = ∠ECG，CD = CG.
∴BC = CG，∠HGC = 90°.
∴∠B = ∠HGC = 90°.
∵CH = CH，
∴Rt△CHB≌Rt△CHG.
∴∠HCB = ∠HCG.
∴$\angle ECH=\angle ECG+\angle HCG=\frac{1}{2}(\angle DCG+\angle BCG)=\frac{1}{2}\angle BCD = 45^{\circ}$.
(2)$AM=\frac{1}{3}BM$.
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC = CD，∠B = ∠D = ∠A = 90°.
由折叠的性质，得∠D = ∠CGE = 90°，CD = CG，ED = EG.
∴BC = CG，∠HGC = 90°.
∴∠B = ∠HGC = 90°.
∵CH = CH，
∴Rt△CHB≌Rt△CHG.
∴HB = HG.
∵正方形纸片ABCD的边长为$4cm$，
∴AE = ED = EG = 2cm.
设$HB = HG = xcm$，
则$EH = EG + HG=(2 + x)cm$，
$AH = AB - HB=(4 - x)cm$.
在Rt△AEH中，由勾股定理，得$AH^{2}+AE^{2}=EH^{2}$.
∴$(4 - x)^{2}+2^{2}=(2 + x)^{2}$.解得$x=\frac{4}{3}$.
∴$HB = HG=\frac{4}{3}cm$，$EH=\frac{10}{3}cm$，$AH=\frac{8}{3}cm$.
∵∠HGM = ∠CGE = ∠A = 90°，∠AHE = ∠AHE，
∴△MHG∽△EHA.
∴$\frac{MH}{EH}=\frac{HG}{AH}$，即$\frac{MH}{\frac{10}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}$.
∴$MH=\frac{5}{3}cm$.
∴$AM = AH - MH = 1cm$，$BM = HB + MH = 3cm$.
∴$AM=\frac{1}{3}BM$.
(3)由题意可得，$PQ//AB$.
∴$\triangle EPG\sim\triangle EAH$.
∴$\frac{PG}{AH}=\frac{EG}{EH}$.
由
(2)知$EG = 2cm$，$EH=\frac{10}{3}cm$，$AH=\frac{8}{3}cm$.
∴$\frac{PG}{\frac{8}{3}}=\frac{2}{\frac{10}{3}}$，
∴$PG=\frac{8}{5}cm$.
∵AD//BC，
∴四边形ABQP为平行四边形.
∴$PQ = AB = 4cm$.
∴$GQ = PQ - PG=\frac{12}{5}cm$.