《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

23.[郑州外国语中学] (11分)如图,AB是⊙O的直径,$PC$切⊙O于点P,过点A作直线$AC\bot PC$交⊙O于另一点D,连接PA,PB,PO.
(1)求证:$AP$平分$\angle CAB$.
(2)若P是直径AB上方圆弧上一动点,⊙O的半径为2,则:
①当$\overset{\frown}{AP}$的长是$\pi$时,以A,O,P,C为顶点的四边形是正方形;
②当弦AP的长度是2或$2\sqrt{3}$时,以A,D,O,P为顶点的四边形是菱形.

答案：
23.解:
(1)证明:
∵PC切⊙O于点P,
∴∠OPC = 90°.
∵AC⊥PC,
∴∠C = 90°.
∴∠OPC + ∠C = 180°.
∴AC//OP.
∴∠CAP = ∠APO.
∵OP = OA,
∴∠OAP = ∠APO.
∴∠OAP = ∠CAP.
∴AP平分∠CAB.(5分)
(2)①$\pi$
　　②2或$2\sqrt{3}$(11分)
[解析]①当以A,O,P,C为顶点的四边形为正方形时,∠AOP = 90°,AP的长为$\frac{90\pi×2}{180}$ = $\pi$.
　　②连接OD.根据题意,分两种情况：I.当AP为边时,如图①所示.当四边形ADOP是菱形时,AP = OP = OD = AD.
∴AP = OP = 2.
　　II.当AP为对角线时,如图②所示.当四边形ADPO是菱形时,OA = OP = PD = AD.
∴OA = OD = AD.
∴△AOD为等边三角形.
∴∠AOD = 60°.
　　设AP与OD的交点为G.
　　则AP = 2AG,∠AGO = 90°.
∴∠OAG = 90° - ∠AOD = 30°,
∴OG = $\frac{1}{2}$OA = 1.
∴AG = $\sqrt{OA^{2}-OG^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
∴AP = $2\sqrt{3}$.
　　综上所述,当弦AP的长度是2或$2\sqrt{3}$时,以A,D,O,P为顶点的四边形是菱形.