《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

23. 数学思想 分类讨论 (11分)如图，等边三角形ABC的边长为a，D为直线AB上除点A，B外的任意一点，AD = m，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD′，连接DD′，BD′.
(1)观察猜想
如图1，当D为AB的中点时，∠CBD′ = 60°，$\frac{BD′}{BD} = $1.
(2)类比探究
如图2，当D为线段AB上的任意一点时，(1)中的结论是否依然成立？请说明理由.
(3)解决问题
当以B，D，D′为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出$\frac{BD′}{BD}$的值.

　　　　　　　　

答案：
23.解：
(1)60°　1　　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)∠CBD' = 60°成立，$\frac{BD'}{BD}$ = 1不成立.　　(5分)
理由：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = AC = BC = a，∠A = ∠ACB = 60°.
由旋转的性质，得CD = CD'，∠DCD' = 60°.
∴∠ACD + ∠BCD = ∠BCD' + ∠BCD = 60°.
∴∠ACD = ∠BCD'.
∴△ACD≌△BCD'.　　　　　　　　　　　(7分)
∴∠CBD' = ∠A = 60°，BD' = AD = m.
∵BD = AB - AD = a - m，
∴$\frac{BD'}{BD}$ = $\frac{m}{a - m}$.
∴∠CBD' = 60°成立，$\frac{BD'}{BD}$ = 1不成立.　　　(9分)
(3)$\frac{BD'}{BD}$的值为2或$\frac{1}{2}$　　　　　　　　　(11分)
[解析]分三种情况讨论：
①当点D在线段AB上时，由
(2)得∠CBD' = 60°.
∴∠DBD' = ∠ABC + ∠CBD' = 120°.
∴此时不存在直角三角形BDD'.
②当点D在线段AB的延长线上时，如图①.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = AC = BC，∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°.
由旋转的性质，得CD = CD'，∠DCD' = 60°.
∴△CDD'为等边三角形.
∴∠CD'D = 60°.
∵∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = 60° + ∠BCD，∠BCD' = ∠BCD + ∠DCD' = ∠BCD + 60°，
∴∠ACD = ∠BCD'.
∴△ACD≌△BCD'.
∴∠CBD' = ∠A = 60°.
∴∠DBD' = 180° - ∠ABC - ∠CBD' = 60°.
∵∠CD'D = 60°，
∴∠BD'D ＜ 60°.
∴当△BDD'为直角三角形时，∠BDD' = 90°. 此时∠BD'D = 30°.
∴BD = $\frac{1}{2}$BD'，即$\frac{BD'}{BD}$ = 2.
③当点D在BA的延长线上时，如图②.
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = AC = BC，∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°.
∴∠CAD = 120°.
由旋转的性质，得CD = CD'，∠DCD' = 60°.
∴△CDD'为等边三角形.
∴∠CDD' = 60°.
∵∠ACD = ∠DCD' - ∠ACD' = 60° - ∠ACD'，∠BCD' = ∠ACB - ∠ACD' = 60° - ∠ACD'，
∴∠ACD = ∠BCD'.
∴△ACD≌△BCD'.
∴∠CBD' = ∠CAD = 120°.
∴∠DBD' = ∠CBD' - ∠ABC = 60°.
∵∠CDD' = 60°，
∴∠BDD' ＜ 60°.
∴当△BD'D为直角三角形时，∠BD'D = 90°，
此时∠BDD' = 30°.
∴BD′ = $\frac{1}{2}$BD，即$\frac{BD'}{BD}$ = $\frac{1}{2}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　
综上所述，$\frac{BD'}{BD}$的值为2或$\frac{1}{2}$.