《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

17.(8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(5m+1)x+4m^2+m=0$.
(1)求证：无论$m$取何实数，原方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求$m$的取值范围.

答案： 17.解：
(1)证明：$\Delta=[-(5m + 1)]^{2}-4× 1×(4m^{2}+m)=(3m + 1)^{2}$.
$\because(3m + 1)^{2}\geq 0$,$\therefore\Delta\geq 0$.
$\therefore$无论$m$取何实数,原方程总有两个实数根.
(2)解关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(5m + 1)x + 4m^{2}+m = 0$,得$x_{1}=4m + 1,x_{2}=m$.
根据题意,分两种情况：
①当$\begin{cases}4m + 1＞3,\\m＜8.\end{cases}$时,解该不等式组,得$\frac{1}{2}＜m＜8$.
②当$\begin{cases}4m + 1＜8,\\m＞3.\end{cases}$时,该不等式组无解.
综上所述,$m$的取值范围是$\frac{1}{2}＜m＜8$.

18.〔青岛市改编〕(8分)在化学老师的辅导下，化学课代表学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了.问：每个人一节课教会多少名同学？

答案： 18.解：设每个人一节课教会$x$名同学.
根据题意,得$1 + x + x(1 + x)=49$.
解得$x_{1}=6,x_{2}=-8$(不符合题意,舍去).
答：每个人一节课教会6名同学.