《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

21. 课后题改编 (10分)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,$AD$平分$\angle CAE$交⊙O于点D,且$AE\bot CD$,垂足为点E.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若$BC = 3$,$CD = 3\sqrt{3}$,求ED的长.

答案： 21.解:
(1)CE与⊙O相切.
　　理由如下:连接OD.
∵OA = OD,
∴∠OAD = ∠ODA.
∵AD平分∠CAE,
∴∠EAD = ∠OAD.
∴∠EAD = ∠ODA.
∴OD//AE.
∵AE⊥CD,
∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O的半径,
∴CE是⊙O的切线,即CE与⊙O相切.(5分)
(2)连接OD,BD.设OD = OB = x.
∵在Rt△COD中,$CD = 3\sqrt{3}$,
∴由勾股定理,得$OD^{2}+CD^{2}=OC^{2}$,
　　即$x^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=(x + 3)^{2}$.解得x = 3.
∴OD = OB = 3.
∴OB = BC.
∴BD = OB.
∴△OBD为等边三角形.
∴∠BOD = 60°.
∴∠C = 90° - ∠BOD = 30°,
　　∠OAD = $\frac{1}{2}$∠BOD = 30°.
∴∠C = ∠OAD,∠EAD = ∠OAD = 30°.
∴AD = CD = $3\sqrt{3}$.
∴ED = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.(10分)

22.[安阳市] (10分)阅读材料,解答问题:
关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种,下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题.
如图1,AB是⊙O的弦,点C在⊙O上,$CD\bot AB$于点D,在弦AB上取点E,使$DE = AD$,点F是$\overset{\frown}{BC}$上的一点,且$\overset{\frown}{CF} = \overset{\frown}{CA}$,连接BF,则$BF = BE$.
小颖对这个问题很感兴趣,经过思考,写出了下面的证明过程:
证明:如图2,连接CA,CE,CF,BC.
$\because CD\bot AB$,$DE = AD$,

$\therefore CA = CE$.
$\therefore \angle CAE = \angle CEA$.
$\because \overset{\frown}{CF} = \overset{\frown}{CA}$,
$\therefore CF = CA$(依据1),$ \angle CBF = \angle CBA$.
$\because$四边形ABFC内接于⊙O,
$\therefore \angle CAB + \angle CFB = 180^{\circ}$(依据2).
$\ldots \ldots$
(1)上述证明过程中的依据1为在同圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦相等,依据2为圆内接四边形的对角互补;
(2)将上述证明过程补充完整.

答案： 22.解:
(1)在同圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦相等　圆内接四边形的对角互补 (6分)
(2)
∵∠CEA + ∠CEB = 180°,
∴∠CFB = ∠CEB.
∵BC = BC,
∴△CFB≌△CEB.
∴BF = BE.(10分)