《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

19. 〔北京四中〕(9分)有这

样

一个问题：探究函数$y = x^2 - 4|x| + 3$的图象与性质.小丽根据学习函数的经验，对函数$y = x^2 - 4|x| + 3$的图象与性质进行了探究.下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)函数$y = x^2 - 4|x| + 3$的自变量$x$的取值范围是任意实数.
(2)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，画出了函数$y = x^2 - 4|x| + 3$的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整.
(3)对于上面的函数$y = x^2 - 4|x| + 3$，下列四个结论：
①函数图象关于$y$轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＜ -2$时，$y$随$x$的增大而减小；
④函数图象与$x$轴有4个公共点.
所有正确结论的序号是①③④.
(4)结合函数图象，解决问题.
若关于$x$的方程$x^2 - 4|x| + 3 = k$有2个不相等的实数根，则$k$的取值范围是$k＞3$或$k=-1$.

答案：
19.解：
(1)任意实数
(2)补充完整的函数图象如图。

(3)①③④
(4)$k＞3$或$k=-1$

20. (9分)如图，已知，抛物线$y = x^2 + bx + c$交$x$轴于$C$，$D$两点，交$y$轴于点$E$，其中点$C$的坐标为$(-1, 0)$，对称轴为直线$x = 1$.$AB$为坐标平面内一条平行于$x$轴的线段，其中点$A(\frac{1}{2}, -5)$、点$B(4, -5)$.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当$-1 \leq x \leq 2$时，求$y$的取值范围；
(3)若抛物线$y = x^2 + bx + c$向下平移$k(k ＞ 0)$个单位长度时，与线段$AB$只有一个公共点，结合函数图象，直接写出$k$的取值范围.

答案： 20.解：
(1)
∵抛物线的对称轴为直线$x =-\frac{b}{2}=1$，
∴$b=-2$。
∴$y = x^{2}-2x + c$。
∵该抛物线经过点$C$，
∴将点$C(-1,0)$代入$y = x^{2}-2x + c$，
得$0 = 1 + 2 + c$。
解得$c=-3$。
∴$y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$。
∴抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$，抛物线顶点坐标为$(1,-4)$。
(2)
∵$y=(x - 1)^{2}-4$，
∴当$x = 1$时，$y$取最小值，为$-4$。
观察函数图象可知，抛物线上的点到对称轴的距离越远，则该点所对应的函数值越大。
∵$1-(-1)＞2 - 1$，
∴在$-1\leq x\leq2$范围内，当$x=-1$时，$y$有最大值，为$0$。
∴当$-1\leq x\leq2$时，$y$的取值范围是$-4\leq y\leq0$。
(3)$k$的取值范围是$k = 1$或$\frac{5}{4}＜k\leq10$。
[解析]抛物线$y=(x - 1)^{2}-4$向下平移$k$个单位长度后的抛物线的解析式为$y=(x - 1)^{2}-4 - k$，
∴抛物线顶点坐标为$(1,-4 - k)$。
根据题意，当抛物线平移至顶点落在$AB$上时，抛物线与线段$AB$只有一个公共点，则有$-4 - k = -5$。解得$k = 1$。
当抛物线平移至顶点在$AB$下方，且经过点$A(\frac{1}{2},-5)$时，有$-5 = (\frac{1}{2}-1)^{2}-4 - k$。解得$k=\frac{5}{4}$。
此时抛物线与线段$AB$有两个公共点。
当抛物线再向下平移时，与$AB$只有一个公共点，
此时$k＞\frac{5}{4}$。
当抛物线平移至经过点$B(4,-5)$时，有$-5=(4 - 1)^{2}-4 - k$。解得$k = 10$。
此时抛物线与线段$AB$只有一个公共点，当抛物线再向下平移时，与线段$AB$没有公共点，
∴$k\leq10$。
综上所述，$k$的取值范围为$k = 1$或$\frac{5}{4}＜k\leq10$。