《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

9. 如图，直角三角形$AOB$的直角顶点在坐标原点，$\angle OAB = 30^{\circ}$，若点$A$在反比例函数$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$的图象上，则经过点$B$的反比例函数图象的解析式为 (C)

A.$y = - \frac{6}{x}$
B.$y = - \frac{4}{x}$
C.$y = - \frac{2}{x}$
D.$y = \frac{2}{x}$

答案：
9.C　[解析]如图,过点B作BC⊥x轴于点C,过点A 作AD⊥x轴于点D.
∵∠BOA=90°,
∴∠BOC+∠AOD=90°.
∵∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠BOC=∠OAD.
∵∠BCO=∠ADO=90°,
∴△BCO∽△ODA.
∵∠OAB=30°,∠BOA=90°,
∴AB=2OB,AO²+OB²=AB²,即AO²+OB²=4OB².
∴AO²=3OB².
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ODA}}$=($\frac{\sqrt{3}}{3}$)²=$\frac{1}{3}$.
∵点A在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴S△ODA=$\frac{1}{2}$×6=3.
∴S△BCO=$\frac{1}{3}$S△ODA=1.设经过点B的反比例函数图象的解析式为y=$\frac{k}{x}$.
∴S△BCO=$\frac{1}{2}$|k|=1.
∴k=2或k=−2.
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限,
∴k=−2.
∴经过点B的反比例函数图象的解析式为y=−$\frac{2}{x}$.故选C.

10. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$CD\perp AB$，且$CD^2 = AD · DB$，$AE$平分$\angle CAB$交$CD$于点$F$，交$BC$于点$E$，$\angle EAB = \angle B$，$CN =$
$BE$，连接$FN$.则下列结论正确的是 (C)
①$CF = BN$；②$\angle ACB = 90^{\circ}$；③$FN // AB$；④$AD^2 = DF · CD$.

A.①②④
B.②③④
C.①②③④
D.①③

答案： 10.C　[解析]
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∵CD²=AD·DB,
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AD}{CD}$.
∴△ADC∽△CDB.
∴∠ACD=∠B.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B +∠BCD=90°.②正确.
∵AE平分∠CAB,
∴∠EAC=∠EAB.
∵∠ACE=∠ADF=90°,
∴∠AFD=∠AEC.
∵∠AFD=∠CFE,
∴∠CFE=∠AEC.
∴CF=CE.
∵CN=BE,
∴CE=BN.
∴CF=BN.①正确.
∵∠EAB=∠B,
∴AE=BE,∠ACD=∠B=∠EAB=∠EAC.
∴AF=CF=BN.
∴EF=NE.
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{NE}{BE}$.
∵∠FEN=∠AEB,
∴△EFN∽△EAB.
∴∠EFN=∠EAB.
∴FN//AB.③正确.
∵∠EAB=∠ACD,∠ADF=∠ADC,
∴△ADF∽△CDA.
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DF}{AD}$,即AD²=DF·CD.④正确.综上所述,结论正确的是①②③④.故选C.

11. 如图，四边形$ABCD\sim$四边形$A'B'C'D'$，则$\alpha =$83°.

答案： 11.83°

12. 设题新角度 开放性试题 如图，已知$\angle 1 = \angle 2$，请添加一个条件：∠B=∠D(答案不唯一)，使$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup ADE$.

答案： 12.∠B=∠D(答案不唯一)

13. 如图，四边形$ABCD$与四边形$EFGH$位似，其位似中心为点$O$，且$\frac{OE}{EA} = \frac{5}{4}$，则$\frac{EH}{AD} =$$\frac{5}{9}$.

答案： 13.$\frac{5}{9}$

14. 小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度$AB$，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角板$DEF$的斜边$DF$保持水平，并且边$DE$与点$B$在同一直线上.已知直角三角板的两条直角边$DE = 30 cm$，$EF = 15 cm$，测得边$DF$离地面的高度$AC = 1.6 m$，$CD = 10 m$，则冷杉$AB$高6.6m.

答案： 14.6.6m　[解析]
∵∠DEF=∠DCB=90°,∠D=∠D,
∴△DEF∽△DCB.
∴$\frac{DE}{CD}$=$\frac{EF}{BC}$
∵DE=30cm=0.3m,EF=15cm=0.15m,CD=10m,
∴$\frac{0.3}{10}$=$\frac{0.15}{BC}$.
∴BC=5m.
∴AB=AC+BC=6.6m.

15. 〔开封市〕如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 6 mm$，$BC = 12 mm$，动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2 mm/s$的速度移动，动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4 mm/s$的速度移动，如果$P$，$Q$两点同时出发，那么当$\bigtriangleup PBQ$与$\bigtriangleup ABC$相似时，$\bigtriangleup PBQ$的面积是5.76或9$ mm^2$.

答案： 15.5.76或9　[解析]设点P，Q运动的时间为ts.根据题意，得AP=2tmm，BQ=4tmm.
∴PB=(6 - 2t)mm.
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴△PBQ与△ABC相似时，分两种情况:
①当△PBQ~△ABC时,$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∵AB=6mm，BC=12mm，
∴$\frac{6−2t}{6}$=$\frac{4t}{12}$.
∴t=1.5.
∴6−2t=3，4t=6.
∴PB=3mm，BQ=6mm.
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$PB·BQ=9mm².
②当△PBQ∽△CBA时,$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$，
∴$\frac{6−2t}{12}$=$\frac{4t}{6}$.
∴t=0.6.
∴6−2t=4.8，4t=2.4.
∴PB=4.8mm，BQ=2.4mm.
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$PB·BQ=5.76mm².
综上所述，△PBQ的面积是5.76mm²或9mm².