《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

14. ［河南中考］我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割 圆术”时的一个图形，$\overgroup{AB}$所在圆的圆心为点$O$，四边形$ABCD$为矩形，边$CD$与$\odot O$相切于点$E$，连 接$BE$，$\angle ABE = 15^{\circ}$，连接$OE$交$AB$于点$F$.若$AB = 4$，则图中阴影部分的面积为$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$.

答案： 14.$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$ [解析]
∵边CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD.
∴OE⊥AB.
∴AF = BF = $\frac{1}{2}$AB = 2.
∵∠ABE = 15°，
∴∠AOE = 30°.
∴OA = 2AF = 4.
∴OF = $\sqrt{OA^{2}-AF^{2}}=2\sqrt{3}$.
∴$S_{阴影}=S_{扇形OAE}-S_{\triangle AFO}=\frac{30×\pi×4^{2}}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$.

15. 如图，矩形$OABC$中，点$A(1,0)$，$C(0,2)$，反比例函数$y = \frac{k}{x} (0 ＜ k ＜ 2,x ＞ 0)$的图象分别交$AB$， $CB$于点$E$，$F$，连接$OE$，$OF$，$EF$.若$S_{\triangle OEF} = 2S_{\triangle BEF}$，则$k$的值为$\frac{2}{3}$，点$F$的横坐标 为$\frac{1}{3}$.

答案： 15.$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$ [解析]
∵四边形OABC是矩形，点A(1,0)，C(0,2)，
∴点B的坐标为(1,2)，点E的坐标为(1,k)，点F的坐标为$(\frac{k}{2},2)$.则$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}(1-\frac{k}{2})(2 - k)=\frac{k^{2}}{4}-k + 1$，$S_{\triangle OFC}=S_{\triangle OAE}=\frac{1}{2}k$.
∴$S_{\triangle OEF}=S_{矩形OABC}-S_{\triangle OFC}-S_{\triangle OAE}-S_{\triangle BEF}=1×2-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k-(\frac{k^{2}}{4}-k + 1)=-\frac{k^{2}}{4}+1$.
∵$S_{\triangle OEF}=2S_{\triangle BEF}$，
∴$-\frac{k^{2}}{4}+1=2(\frac{k^{2}}{4}-k + 1)$.整理，得$3k^{2}-8k + 4 = 0$.解得$k_{1}=2$(舍去)，$k_{2}=\frac{2}{3}$.
∴$k=\frac{2}{3}$.
∴点F的横坐标为$\frac{1}{3}$.

16. ($10$分)解方程：
(1)［福州市］$x^2 + 2x - 5 = 0$；
(2)［山西中考］$2(x - 3)^2 = x^2 - 9$.

答案： 16.解：
(1)移项，得$x^{2}+2x = 5$.
配方，得$x^{2}+2x + 1 = 5 + 1$，即$(x + 1)^{2}= 6$.
由此可得$x + 1 = \pm\sqrt{6}$.
解得$x_{1}=-1+\sqrt{6}$，$x_{2}=-1-\sqrt{6}$.
(2)移项，得$2(x - 3)^{2}-(x^{2}-9)=0$，
即$2(x - 3)^{2}-(x + 3)(x - 3)=0$.
因式分解，得$(x - 3)(2x - 6 - x - 3)=0$，
即$(x - 3)(x - 9)=0$.
∴$x - 3 = 0$，或$x - 9 = 0$.
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=9$.

17. ［唐山市］($8$分)如图，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象相交于点$A(-2,1)$、点$B(1,n)$.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于$x$的不等式$kx + b - \frac{m}{x} ＜ 0$的解集.

答案： 17.解：
(1)将点A(-2,1)代入$y=\frac{m}{x}$，得$1=\frac{m}{-2}$.
解得$m = -2$.
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$.
将点B(1,n)代入$y=-\frac{2}{x}$，得$n = -2$.
∴点B(1,-2).
将点A(-2,1)，B(1,-2)分别代入$y=kx + b$，
得$\begin{cases}-2k + b = 1\\k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = -1\end{cases}$.
∴一次函数的解析式为$y=-x - 1$.
(2)关于$x$的不等式$kx + b-\frac{m}{x}＜0$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞1$.