《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

19.〔深圳市改编〕(9分)定义新运算：对于任意实数$m$，$n$，都有$m \oplus n=m(m-n)+1$，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：$2 \oplus 5=2 × (2-5)+1=2 × (-3)+1=-6+1=-5$.
(1)若$x \oplus (-2)=4$，求$x$的值；
(2)若$2 \oplus a$的值小于5，请判断关于$x$的一元二次方程$-x^2+bx+a=0$的根的情况.

答案： 19.解：
(1)$\because m\oplus n = m(m - n)+1,x\oplus(-2)=4$,
$\therefore x\oplus(-2)=x(x + 2)+1 = 4$.
解得$x_{1}=1,x_{2}=-3$.
$\therefore x$的值为1或-3.
(2)根据题意,得$2(2 - a)+1＜5$.解得$a＞0$.
$\therefore b^{2}-4×(-1)× a=b^{2}+4a＞0$.
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.

20.(9分)已知关于$x$的方程$kx^2-3x+1=0$有实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，分别为$x_1$和$x_2$，当$x_1+x_2+x_1x_2=4$时，求$k$的值.

答案： 20.解：
(1)当$k = 0$时,原方程为$-3x + 1 = 0$,
解得$x=\frac{1}{3}$.
$\therefore k = 0$符合题意.
当$k\neq 0$时,原方程为一元二次方程.
$\because$该一元二次方程有实数根,
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4× k× 1\geq 0$.
解得$k\leq\frac{9}{4}$.
综上所述,$k$的取值范围为$k\leq\frac{9}{4}$.
(2)$\because x_{1}$和$x_{2}$是方程$kx^{2}-3x + 1 = 0$的两个实数根,
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{3}{k},x_{1}x_{2}=\frac{1}{k}$.
$\because x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=4$,
$\therefore\frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4$.
解得$k = 1$.
经检验,$k = 1$是分式方程的解,且符合题意.
$\therefore k$的值为1.