《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

14. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB = 3，OD = 2，则阴影部分的面积之和为6.

　　　　

答案：
6　[解析]如图，过点A作AE⊥b于点E.
　　　　　　　
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是A'，
∴OE = OD = 2，图形①与图形②的面积相等.
∵OB = 3，
∴S阴影 = OB·OE = 3×2 = 6.

15. 〔河南中考〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，$AC = BC = 2\sqrt{2}，$点D为AB的中点，点P在AC上，且CP = 1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ = 90°时，AQ的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.

答案：
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$　[解析]连接DC并延长，以点C为圆心，CP的长为半径画圆，则点Q在该圆上，如图.
　　　　　　　
∵∠ACB = 90°，AC = BC = 2$\sqrt{2}$，
∴AB = $\sqrt{AC² + BC²}$ = 4.
∵点D为AB的中点，
∴CD = AD = $\frac{1}{2}$AB = 2，∠ADC = 90°.
∴当∠ADQ = 90°时，点C，D，Q在同一条直线上. 由旋转的性质可知，CQ = CP = CQ' = 1.
根据题意，分两种情况：
①当点Q在线段CD上时，DQ = CD - CQ = 1.
∴AQ = $\sqrt{AD² + DQ²}$ = $\sqrt{2² + 1²}$ = $\sqrt{5}$
②当点Q在DC的延长线上(即点Q')时，
DQ' = CD + CQ' = 3.
∴AQ' = $\sqrt{AD² + DQ'²}$ = $\sqrt{2² + 3²}$ = $\sqrt{13}$
综上所述，当∠ADQ = 90°时，AQ的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.

16. (8分)在平面直角坐标系中，点A(a + 2b,3)关于原点对称的点B的坐标为(-4,b - 1)，求点C(a,-b)关于y轴对称的点D的坐标.

答案： 16.解：
∵点A(a + 2b,3)关于原点对称的点B的坐标为(-4,b - 1)，
∴$\begin{cases}a + 2b = 4\\b - 1 = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 8\\b = -2\end{cases}$　　　　　　　(4分)
∴点C的坐标为(8,2).　　　　　　　　(6分)
∴点C关于y轴对称的点D的坐标为(-8,2).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

17. (9分)如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数.

答案： 17.解：由旋转的性质，得BD = BC，∠DBC = 30°.
∴∠BDC = ∠BCD = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DBC) = 75°.(2分)
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC = 60°.　　　　　　　　　(4分)
∴AB = BD，∠ABD = ∠ABC + ∠DBC = 90°，
∴△ABD为等腰直角三角形.　　　　　　(6分)
∴∠BDA = 45°.
∴∠ADC = ∠BDC - ∠BDA = 30°.　　　　　(9分)