《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

21. ［郑州市］($9$分)逍遥胡辣汤制作技艺入选国家级非物质文化遗产代表性项目名录.得益于发达的网络销售模式，这种特色美食逐渐走出河南，走向全国.某批发网店通过市场调研发现(整箱售卖)：若每箱胡辣汤料的利润为$50$元，则平均每月可卖$600$箱；不考虑其他因素，每箱每降价$1$元，平均每月就可以多卖$20$箱.为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施.
(1)若该店销售胡辣汤料的一个月总利润是$31500$元，则该店胡辣汤料每箱降价多少元？设每箱降价$x$元，那么每箱的销售利润为$(50 - x)$元，平均每月销售量为$(600 + 20x)$箱.请你填空并列出方程求解.
(2)在(1)的条件下，该店想一个月的销售总利润达到$33000$元，请你通过计算说明是否能够达到.若不能达到，则一个月可达到的最大总利润为多少？

答案： 21.解：
(1)$(50 - x)$ $(600 + 20x)$
根据题意，得$(50 - x)(600 + 20x)=31500$.
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=15$.
∵为了尽快清库存，
∴$x = 15$.
答：每箱降价15元.
(2)根据题意，得$(50 - x)(600 + 20x)=33000$.
∴$x^{2}-20x + 150 = 0$.
∵$(-20)^{2}-4×1×150＜0$，
∴此方程无实数根.
∴一个月的销售总利润不能达到33000元.
设一个月的销售总利润为$w$元，则$w=(50 - x)(600 + 20x)=-20x^{2}+400x + 30000=-20(x - 10)^{2}+32000$.
∵$-20＜0$，
∴当$x = 10$时，$w$有最大值，为32000.
∴一个月可达到的最大总利润为32000元.

22. ［北京市］($10$分)在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^2 - 4ax + c (a \neq 0)$与$y$轴交于点$A$，将点$A$向右平 移$2$个单位长度，得到点$B$，直线$y = \frac{3}{5}x - 3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$，$D$.
(1)求抛物线的对称轴.
(2)若点$A$与点$D$关于$x$轴对称.
①求点$B$的坐标；
②若抛物线与线段$BC$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围.

答案：
22.解：
(1)
∵$y = ax^{2}-4ax + c = a(x - 2)^{2}-4a + c$，
∴抛物线的对称轴是直线$x = 2$.
(2)①
∵直线$y=\frac{3}{5}x - 3$与$x$轴、$y$轴分别交于点C，D，
∴当$x = 0$时，$y = -3$；当$y = 0$时，$x = 5$.
∴点C的坐标为$(5,0)$，点D的坐标为$(0,-3)$.
∵抛物线与$y$轴的交点A与点D关于$x轴对称$，
∴点A的坐标为$(0,3)$.
∵将点A向右平移2个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为$(2,3)$.
②设抛物线的顶点为P.
把点A(0,3)代入$y = ax^{2}-4ax + c$，得$c = 3$.
∴抛物线顶点P的坐标为$(2,3 - 4a)$.
分两种情况：
I.当$a＞0$时，如图①，过点C作CE//y轴与抛物线交于点E.
把$x = 5$代入$y = ax^{2}-4ax + 3$，
得$y = 25a - 20a + 3 = 5a + 3＞0$.
∴点C(5,0)总在抛物线上的点E(5,5a + 3)的下方.
∵$3 - 4a＜3$，即$y_{P}＜y_{B}$，
∴点B(2,3)总在抛物线顶点P的上方.
∴当$a＞0$时，抛物线与线段BC恰有一个公共点.

II.当$a＜0$时，如图②.

当抛物线过点C(5,0)时，$25a - 20a + 3 = 0$.
解得$a = -\frac{3}{5}$.
∵$3 - 4a＞3$，
∴点P总在点B上方.
结合函数图象可知，当$a\leq-\frac{3}{5}$时，抛物线与线段BC恰有一个公共点.
综上所述，$a$的取值范围是$a＞0$或$a\leq-\frac{3}{5}$.