《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

23.〔朝霞原创〕(11分)在等腰直角三角形$ABC$和等腰直角三角形$EBF$中,$\angle ACB = \angle BEF = 90°$,连接$AF$,$M$是$AF$的中点,连接$CM$,$EM$.
(1)观察猜想
图1中,线段$CM$与$EM$的数量关系是,位置关系是.
(2)探究证明
把$\triangle EBF$绕点$B$顺时针旋转一周,在旋转的过程中,(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由.
(3)拓展延伸
如图3,在平面直角坐标系中,点$A$的坐标为$(2,0)$,点$B$的坐标为$(6,0)$,点$C$的坐标为$(6,4)$,$P$为平面内一动点,且$AP = 2$,连接$CP$,$D$是$CP$的中点,连接$BD$.请直接写出$BD$的最值.

答案：
解：
(1)CM = EM　CM⊥EM　(4分)
[解析]
∵∠BEF = 90°，
∴∠AEF = 180°−∠BEF = 90°。
∵∠ACB = 90°，M是AF的中点，
∴CM = AM = $\frac{1}{2}$AF，EM = AM = $\frac{1}{2}$AF；
∴CM = EM，∠MAC = ∠MCA，∠MAE = ∠MEA。
∴∠EMC = ∠EMF + ∠CMF = 2∠MAE + 2∠MAC = 2∠BAC。
∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC = 45°，
∴∠EMC = 90°，即CM⊥EM。
(2)成立。(5分)
证明：如图①，延长AC到点G，使CG = AC，连接BG，FG，延长FE到点H，使EH = FE，连接BH，AH。
　　　　　
∵∠ACB = ∠BCG = 90°，BC = BC，
∴△ACB≌△GCB。
∴AB = BG，∠BAC = ∠BGC = 45°。
∴∠ABG = 90°。
同理可得，BH = BF，∠FBH = 90°。
∴∠HBA + ∠ABF = ∠FBG + ∠ABF。
∴∠HBA = ∠FBG。
∴△HBA≌△FBG。
∴AH = FG，∠HAB = ∠FGB。(7分)
∴∠HAC + ∠FGA = ∠HAB + ∠BAC + ∠FGA = ∠BAC + ∠FGA + ∠FGB = ∠BAC + ∠BGC = 90°。
∵EH = EF，M是AF的中点，CG = AC，
∴EM是△AFH的中位线，CM是△AFG的中位线。
∴EM = $\frac{1}{2}$AH，EM//AH，CM = $\frac{1}{2}$FG，CM//FG。
∴EM = CM，∠EMF = ∠HAF，∠MCA = ∠FGA。
∴∠FMC = ∠FAC + ∠MCA = ∠FAC + ∠FGA。
∴∠EMC = ∠EMF + ∠FMC = ∠HAF + ∠FAC + ∠FGA = ∠HAC + ∠FGA = 90°，即CM⊥EM。(9分)
(3)BD的最小值为$\sqrt{2}$−1，最大值为$\sqrt{2}$+1。(11分)
[解析]连接AC，BC。
∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点C的坐标为(6，4)，
∴AB = 4，BC = 4，∠ABC = 90°。
如图②，以AP为斜边作等腰直角三角形AKP，连接DK，BK。
　　　　　
∵AK = PK，∠AKP = 90°，
∴AP = $\sqrt{AK²+PK²}$ = $\sqrt{2}$AK。
∴AK = $\frac{\sqrt{2}}{2}$AP = $\sqrt{2}$。
由
(2)可知，DK = BD，DK⊥BD。
同理可得BD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BK。
∵AB−AK ≤ BK ≤ AB + AK，
∴当点K在线段AB上时，BK取得最小值，即BD取得最小值。
此时BK = 4−$\sqrt{2}$，BD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BK = $\sqrt{2}$−1。
当点K在BA的延长线上时，BK取得最大值，即BD取得最大值。
此时BK = 4 + $\sqrt{2}$，BD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BK = $\sqrt{2}$+1。
综上所述，BD的最小值为$\sqrt{2}$−1，最大值为$\sqrt{2}$+1。