《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

19. (9分)如图，点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上，过点$C$作$\odot O$的切线$l$，过点$A$作$AD\perp l$，垂足为$D$，连接$AC$，$BC$.
(1)求证：$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup ACD$；
(2)若$AC = 5$，$CD = 4$，求$\odot O$的半径.

答案： 19.解:
(1)证明:连接OC.
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
∵AD//l，
∴OC//AD.
∴∠CAD=∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO.
∴∠CAB=∠CAD.　　　　　　　　　　　　(3分)
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠ACB=∠ADC=90°.
∴△ABC∽△ACD.　　　　　　　　　　　　(5分)
(2)
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt{AC²−CD²}$=3.
∵△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$.　　　　　　(7分)
∴$\frac{AB}{5}$=$\frac{5}{3}$.
∴AB=$\frac{25}{3}$
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.　　　　　　　　　　　(9分)

20. 〔上海中考〕(9分)如图所示，在矩形$ABCD$中，$E$为边$CD$上一点，且$AE\perp BD$.
(1)求证：$AD^2 = DE · CD$；
(2)$F$为线段$AE$延长线上一点，且满足$EF = CF = \frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$.

答案： 20.证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°,AB=CD.
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°.
∴∠ABD=∠DAE.
∵∠BAD=∠ADE=90°,
∴△BAD∽△ADE.(3分)
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AD}{DE}$.
∴AD²=DE·AB.
∵AB=CD,
∴AD²=DE·CD.　　　　　　　(5分)
(2)连接AC交BD于点O.
由
(1)得△BAD∽△ADE.
∴∠AED=∠ADB.
∵∠AED=∠CEF,
∴∠ADB=∠CEF.　　　(7分)
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$BD.
∴∠ADB=∠DAC.
∴∠CEF=∠DAC.
∵EF=CF=$\frac{1}{2}$BD,
∴∠CEF=∠FCE,OA=OD=EF=CF.
∴∠DAC=∠FCE.
∴△ODA≌△FEC.
∴CE=AD.　　　　　　(9分)