《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

19. 已知$a$，$b$为有理数，不等式$(2a-b)x+3a-4b＜0$的解集是$x＞\frac {4}{9}$，求不等式$(a-4b)x+2a-3b＞0$的解集.

答案： 解：$ \because $ 不等式 $ (2a - b)x + 3a - 4b ＜ 0 $ 的解
集是 $ x ＞ \frac{4}{9} $，$ \therefore 2a - b ＜ 0 $ 且 $ \frac{4b - 3a}{2a - b} = \frac{4}{9} $，
$ \therefore a = \frac{8}{7}b $。
将 $ a = \frac{8}{7}b $ 代入 $ 2a - b ＜ 0 $，得 $ 2 \times \frac{8}{7}b - b ＜ $
0，即 $ \frac{9}{7}b ＜ 0 $，故 $ b ＜ 0 $，
$ \therefore $ 关于 $ x $ 的不等式 $ (a - 4b)x + 2a - 3b ＞ 0 $
可化为 $ -\frac{20}{7}bx ＞ \frac{5}{7}b $。
$ \because b ＜ 0 $，$ \therefore -\frac{20}{7}b ＞ 0 $，$ \therefore x ＞ -\frac{1}{4} $。

20. 阅读下列材料，解决问题.
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质 1 和性质 2 证明不等式的性质 3 呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下形式：
①已知$a＞b$，$c＜0$，求证$ac＜bc$.
②已知$a＞b$，$c＜0$，求证$\frac {a}{c}＜\frac {b}{c}$.
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据.
$\because c＜0$，即$c$是一个负数，
$\therefore c$的相反数是正数，即$-c＞0$.
$\because a＞b$，
$\therefore a\cdot (-c)＞b\cdot (-c)$（依据：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），
即$-ac＞-bc$.
不等式的两端同时加$(ac+bc)$，可得$-ac+(ac+bc)＞-bc+(ac+bc)$（依据：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），
合并同类项，可得$bc＞ac$，
即$ac＜bc$得证.
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明.
解：$\because c＜0$，即$c$是一个负数，$\therefore c$的相反数是正数，即$-c＞0$.
$\because a＞b$，$\therefore \frac{a}{-c}＞\frac{b}{-c}$（依据：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），即$-\frac{a}{c}＞-\frac{b}{c}$，
不等式的两端同时乘以$-1$，可得$-\frac{a}{c}×(-1)＜-\frac{b}{c}×(-1)$（依据：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号改变），
即$\frac{a}{c}＜\frac{b}{c}$，得证.

答案：
(1) 不等式的两边同时乘以一个正数，不等
号方向不变 不等式的两边同时加上同一
个整式，不等号不变
(2) 解：$ \because c ＜ 0 $，即 $ c $ 是一个负数，$ \therefore c $ 的相
反数是正数，即 $ -c ＞ 0 $。
$ \because a ＞ b $，$ \therefore \frac{a}{-c} ＞ \frac{b}{-c} $（依据：不等式的两边
同时除以一个正数，不等号方向不变），即
$ -\frac{a}{c} ＞ -\frac{b}{c} $，
不等式的两端同时乘以 $ -1 $，可得
$ -\frac{a}{c} \times (-1) ＜ -\frac{b}{c} \times (-1) $（依据：不等式
的两边同时乘以同一个负数，不等号改变），
即 $ \frac{a}{c} ＜ \frac{b}{c} $，得证。