《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

20. 已知$A$，$B$，$C$都是一次式，且$A=\frac{1}{2}(5x + 4y)$，$B = y - 3x + 3$，$C = A - B$. 先化简$C$，再求出当$x = -2$，$y = 2$时$C$的值.
化简$C$的结果为$\frac{11}{2}x + y - 3$，当$x = -2$，$y = 2$时$C$的值为$-12$.

答案： 解：根据题意，得 $C = A - B = \frac{1}{2}(5x + 4y)-(y - 3x + 3)=\frac{5}{2}x + 2y - y + 3x - 3 = (\frac{5}{2}+3)x+(2 - 1)y - 3=\frac{11}{2}x + y - 3$。
当 $x = -2$，$y = 2$ 时，$C=\frac{11}{2}x + y - 3=\frac{11}{2}\times(-2)+2 - 3 = -11 + 2 - 3 = -12$。

21. 在七年级活动课上，有三名同学各拿了一张卡片，卡片上分别为$A$，$B$，$C$三个代数式，三张卡片如下，其中$C$的代数式是未知的.
| $A=-2x^{2}-(k - 1)x + 1$ | $B=-2(x^{2}-x)$ | $C$ |
（1）若$A$为二次二项式，则$k$的值为____1；
（2）若$A - B$的结果为常数，则这个常数是____1，此时$k$的值为____-1；
（3）当$k = -1$时，$C + 2A = B$，求$C$.

答案：
(1) 1
(2) 1 $-1$
解：
(3) 当 $k = -1$ 时，$A = -2x^{2}-(-1 - 1)x + 1 = -2x^{2}+2x + 1$。
$\because C + 2A = B$，$B = -2(x^{2}-x)$，
$\therefore C = B - 2A = -2(x^{2}-x)-2(-2x^{2}+2x + 1)=-2x^{2}+2x + 4x^{2}-4x - 2 = 2x^{2}-2x - 2$。

22. 有这样一道题：“求$(2x^{3}-3x^{2}y - 2xy)-(x^{3}-2xy + y^{3})+(-x^{3}+3x^{2}y - y^{3})$的值，其中$x=\frac{1}{2}$，$y = -1$.”甲同学把“$x=\frac{1}{2}$”错抄成“$x = -\frac{1}{2}$”，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事呢？请你说明理由.
解：原式 $=2x^{3}-3x^{2}y - 2xy - x^{3}+2xy - y^{3}-x^{3}+3x^{2}y - y^{3}=(2x^{3}-x^{3}-x^{3})+(-3x^{2}y + 3x^{2}y)+(-2xy + 2xy)+(-y^{3}-y^{3})=$$-2y^{3}$。
$\because$ 化简结果不含$x$，$\therefore$ 结果与$x$的取值无关，$\therefore$ 他的计算结果是正确的。

答案： 解：原式 $=2x^{3}-3x^{2}y - 2xy - x^{3}+2xy - y^{3}-x^{3}+3x^{2}y - y^{3}=(2x^{3}-x^{3}-x^{3})+(-3x^{2}y + 3x^{2}y)+(-2xy + 2xy)+(-y^{3}-y^{3})=-2y^{3}$。
$\because$ 化简结果不含 $x$，$\therefore$ 结果与 $x$ 的取值无关，$\therefore$ 他的计算结果是正确的。

23. 对任意一个三位正整数$m$，如果$m$的百位数字等于十位数字的$2$倍与个位数字之和，那么称这个数$m$为“神奇数”. 例如：$m = 311$，因为$1×2 + 1 = 3$，所以$311$是“神奇数”. 例如：$m = 514$，因为$1×2 + 4 = 6≠5$，所以$514$不是“神奇数”.
（1）判断$917$和$642$是不是“神奇数”，并说明理由；
$917$是“神奇数”，理由：因为$1×2 + 7 = 9$；$642$不是“神奇数”，理由：因为$4×2 + 2≠6$。
（2）若$m$是“神奇数”，且$m$与$13$的和能被$11$整除，求满足条件的所有“神奇数”$m$.
满足条件的所有“神奇数”$m$为614或933。

答案： 解：
(1) $\because 1\times2 + 7 = 9$，$\therefore 917$ 是“神奇数”；
$\because 4\times2 + 2\neq6$，$\therefore 642$ 不是“神奇数”。
(2) 设 $m$ 的百位数字、十位数字、个位数字为 $b$，$c$，$d$，则 $m = 100b + 10c + d$。
$\because m$ 是“神奇数”，$\therefore b = 2c + d$。
把 $2c + d$ 代入，得 $m + 13 = 100(2c + d)+10c + d + 13 = 210c + 101d + 13 = 11\times19c + c + 11\times9d + 2d + 11\times1 + 2 = 11\times(19c + 9d + 1)+(c + 2d + 2)$。
$\because m$ 与 13 的和能被 11 整除，
$\therefore 11\times(19c + 9d + 1)+(c + 2d + 2)$ 能被 11 整除，$\therefore c + 2d + 2$ 能被 11 整除。
由此可知，当 $c + 2d + 2 = 11$ 时，$c = 1$，$d = 4$，$b = 6$ 或 $c = d = 3$，$b = 9$，则 $m = 614$ 或 933。当 $c + 2d + 2 = 22$ 时，$c = 2$，$d = 9$，$b = 13$，不符合题意，舍去。
$\therefore$ “神奇数”$m$ 为 614 或 933。