《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

21. 已知 $\sqrt{12}+1$ 在两个连续的自然数 $a$ 和 $a + 1$ 之间，1是 $b$ 的一个平方根.
（1）求 $a,b$ 的值；
（2）比较 $a - b$ 的算术平方根与3的大小.

答案： 解：
(1) $ a = 4, b = 1 $。
(2) 由
(1) 知，$ a = 4, b = 1 $，
$ \therefore a - b = 4 - 1 = 3 $。
$ \therefore a - b $ 的算术平方根是 $ \sqrt { 3 } $。
$ \because 3 ＜ 9, \therefore \sqrt { 3 } ＜ 3 $。

22. 在一次活动课中，小烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为 $3:1$，面积为 $75cm^2$ 的长方形.
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于 $3cm$”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由.

答案： 解：
(1) 根据题意设长方形的长为 $ 3 x \mathrm { cm } $，宽为 $ x \mathrm { cm } $，则 $ 3 x \cdot x = 75 $，即 $ x ^ { 2 } = 25 $。
$ \because x ＞ 0, \therefore x = 5. \therefore 3 x = 15 $。
答：长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm。
(2) 设正方形的边长为 $ y \mathrm { cm } $，根据题意，可得 $ y ^ { 2 } = 75. \because y ＞ 0, \therefore y = \sqrt { 75 } $。
$ \because $ 原来长方形的宽为 5 cm，
$ \therefore $ 正方形的边长与长方形的宽之差为 $ \sqrt { 75 } - 5. \because \sqrt { 64 } ＜ \sqrt { 75 } ＜ \sqrt { 81 } $，即 $ 8 ＜ \sqrt { 75 } ＜ 9 $，
$ \therefore 3 ＜ \sqrt { 75 } - 5 ＜ 4 $。所以她的说法正确。

23. 阅读材料：$\because 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore\sqrt{6}$ 的整数部分为2，$\sqrt{6}$ 的小数部分为 $\sqrt{6}-2$.
解决问题：
（1）求 $\sqrt{73}$ 的小数部分；
（2）已知 $a$ 是 $\sqrt{19}-4$ 的整数部分，$b$ 是 $\sqrt{19}-4$ 的小数部分，求代数式 $(a + 1)^3+(b + 4)^2$ 的值；
（3）已知 $m$ 是 $2+\sqrt{3}$ 的整数部分，$n$ 是 $2+\sqrt{3}$ 的小数部分，求 $m - n$ 的相反数.

答案： 解：
(1) $ \because 8 ＜ \sqrt { 73 } ＜ 9, \therefore \sqrt { 73 } $ 的整数部分是 8，$ \sqrt { 73 } $ 的小数部分是 $ \sqrt { 73 } - 8 $。
(2) $ ( a + 1 ) ^ { 3 } + ( b + 4 ) ^ { 2 } = 20 $。
(3) $ m - n $ 的相反数为 $ \sqrt { 3 } - 4 $。