《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

10. 已知关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程 $ ( 3 x - 2 y + 9 ) + m ( 2 x + y - 1 ) = 0 $，不论 $ m $ 取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是$\begin{cases}x = -1, \\ y = 3\end{cases}$.

答案： $\begin{cases}x = -1, \\ y = 3\end{cases}$

11. 计算：
（1）$ \sqrt { 16 } + \sqrt [ 3 ] { - 8 } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } } $；
（2）$ 2 ( \sqrt { 2 } - \sqrt { 3 } ) + 3 \sqrt { 3 } $.

答案：
(1) $1\frac{1}{2}$
(2) $2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

12. 如右下图所示，如果已知 $ \angle 1 = \angle 2 $，那么 $ A B // C D $，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明.

解：如果已知 $\angle 1 = \angle 2$，那么 $AB // CD$，不是真命题，添加条件为$BE // DF$。
证明过程如下：
$\because BE // DF$，$\therefore \angle MBE = \angle BDF$，
$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \angle MBA = \angle BDC$，
$\therefore AB // CD$。

答案： 解：如果已知 $\angle 1 = \angle 2$，那么 $AB // CD$，不是真命题，添加条件为 $BE // DF$。
证明过程如下：
$\because BE // DF$，$\therefore \angle MBE = \angle BDF$，
$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \angle MBA = \angle BDC$，
$\therefore AB // CD$。

13. 求下列各式中 $ x $ 的值：
（1）$ 4 x ^ { 2 } = 25 $；$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$
（2）$ ( x - 0.7 ) ^ { 3 } = 0.027 $。$x = 1$

答案：
(1) $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$
(2) $x = 1$

14. 解不等式组：$ \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 - 5 x } { 2 } - \frac { 3 x + 1 } { 3 } \geq - 1, } \\ { 3 ( x - 1 ) ＜ 5 ( x + 1 ) - 2. } \end{array} \right. $

答案： $-3 ＜ x \leq \frac{1}{3}$

15. 某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买 $ 1 $ 支钢笔和 $ 5 $ 支自动铅笔共需 $ 50 $ 元，购买 $ 3 $ 支钢笔和 $ 2 $ 支自动铅笔共需 $ 85 $ 元.
（1）该品牌的钢笔和自动铅笔每支的定价分别是多少元？
（2）如果该班级需要自动铅笔的数量是钢笔的数量的 $ 2 $ 倍还多 $ 8 $ 支，现在文教店进行促销活动，全场商品一律 $ 8 $ 折出售，且该班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过 $ 620 $ 元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？

答案： 解：
(1) 该品牌的钢笔每支的定价为 25 元，自动铅笔每支的定价为 5 元。
(2) 设该班级购买 $m$ 支该品牌的钢笔，则购买 $(2m + 8)$ 支该品牌的自动铅笔，
依题意，得 $80\% \times 25m + 80\% \times 5(2m + 8) \leq 620$，解得 $m \leq 21$。
又 $\because m$ 为正整数，$\therefore m$ 的最大值为 21。
答：该班级最多可购买 21 支该品牌的钢笔。