《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

19. 如下图所示，一辆汽车在直线形的公路$AB$上由$A$向$B$行驶，$M$，$N$分别是位于公路$AB$两侧的村庄，设汽车行驶到点$P$位置时，离村庄$M$最近，行驶到点$Q$位置时，离村庄$N$最近，请你在$AB$上分别画出$P$，$Q$两点的位置.

答案：
解: 如右图所示.

20. 如右下图所示，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$OE$平分$∠BOD$.
（1）若$∠AOC=50^{\circ }$，求$∠BOE$的度数；25°
（2）若$OF$平分$∠COB$，能判断$OE⊥OF$吗？能

答案： 解:
(1) $ \angle B O E = 25 ^ { \circ } $.
(2) 能. $ \because O E $ 平分 $ \angle B O D $,
$ \therefore \angle B O E = \frac { 1 } { 2 } \angle B O D $.
$ \because O F $ 平分 $ \angle C O B $, $ \therefore \angle B O F = \frac { 1 } { 2 } \angle B O C $.
$ \therefore \angle E O F = \angle B O E + \angle B O F = \frac { 1 } { 2 } ( \angle B O D + \angle B O C ) = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore O E \perp O F $.

21. 如图①所示，已知线段$AB=20cm$，$C$为$AB$上的一个动点，$D$，$E$分别是$AC$和$BC$的中点.


（1）若$C$恰好是$AB$的中点，则$DE$的长是多少？（直接写出结果）
解：$DE=$10cm.
（2）若$BC=14cm$，求$DE$的长；
解：$DE=$10cm.
（3）试说明不论$BC$取何值（不超过$20cm$），$DE$的长不变；
解：因为$D$，$E$分别是$AC$和$BC$的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，因此$DE=CD+CE=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=$10cm，所以不论$BC$取何值（不超过$20cm$），$DE$的长不变.
（4）知识迁移：如图②所示，已知$∠AOB=130^{\circ }$，过角的内部任一点$C$画射线$OC$，若$OD$，$OE$分别平分$∠AOC$和$∠BOC$，试求出$∠DOE$的大小，并说明$∠DOE$的大小与射线$OC$的位置是否有关.
解：$∠DOE=$65°，因为$OD$，$OE$分别平分$∠AOC$和$∠BOC$，所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC$，因此$∠DOE=∠DOC+∠COE=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=$65°，所以$∠DOE$的度数与射线$OC$的位置无关.

答案： 解:
(1) $ \because C $ 恰好是 $ A B $ 的中点,
$ \therefore A C = B C = \frac { 1 } { 2 } A B = 10 \mathrm { ~ c m } $.
$ \because D , E $ 分别是 $ A C $ 和 $ B C $ 的中点,
$ \therefore D C = \frac { 1 } { 2 } A C = 5 \mathrm { ~ c m } , C E = \frac { 1 } { 2 } B C = 5 \mathrm { ~ c m } $,
$ \therefore D E = 10 \mathrm { ~ c m } $.
(2) $ \because A B = 20 \mathrm { ~ c m } , B C = 14 \mathrm { ~ c m } $,
$ \therefore A C = 6 \mathrm { ~ c m } $.
$ \because D , E $ 分别是 $ A C $ 和 $ B C $ 的中点,
$ \therefore C D = 3 \mathrm { ~ c m } , C E = 7 \mathrm { ~ c m } $,
$ \therefore D E = C D + C E = 10 \mathrm { ~ c m } $.
(3) $ \because D , E $ 分别是 $ A C $ 和 $ B C $ 的中点,
$ \therefore C D = \frac { 1 } { 2 } A C , C E = \frac { 1 } { 2 } B C $,
$ \therefore D E = C D + C E = \frac { 1 } { 2 } ( A C + B C ) = \frac { 1 } { 2 } A B = 10 \mathrm { ~ c m } $,
$ \therefore $ 不论 $ B C $ 取何值 (不超过 $ 20 \mathrm { ~ c m } $ ), $ D E $ 的长不变.
(4) $ \because O D , O E $ 分别平分 $ \angle A O C $ 和 $ \angle B O C $,
$ \therefore \angle D O C = \frac { 1 } { 2 } \angle A O C , \angle COE = \frac { 1 } { 2 } \angle C O B $,
$ \therefore \angle D O E = \angle D O C + \angle C O E = \frac { 1 } { 2 } ( \angle A O C + \angle C O B ) = \frac { 1 } { 2 } \angle A O B $.
$ \because \angle A O B = 130 ^ { \circ } , \therefore \angle D O E = 65 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle D O E $ 的度数与射线 $ O C $ 的位置无关.