《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

23. 如右下图所示，计划围一个面积为$50\mathrm{m}^{2}$的长方形场地，一边靠旧墙（墙长为 10 m），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为$5:2$. 讨论方案时，小英说：“我们不可能围成满足要求的长方形场地.”小军说：“可以围成满足要求的长方形场地.”请你判断谁的说法正确，并说明理由.

解: 设长方形场地的长为 $ 5 x \mathrm { m } $, 宽为 $ 2 x \mathrm { m } $,
依题意, 得 $ 5 x \cdot 2 x = 50 $, $ \therefore x = \sqrt { 5 } $, $ \therefore $ 长方形场地的长为 $ 5 \sqrt { 5 } $, 宽为 $ 2 \sqrt { 5 } $.
$ \because 4 ＜ 5 ＜ 9 $, $ \therefore 2 ＜ \sqrt { 5 } ＜ 3 $, $ \therefore 2 \sqrt { 5 } ＜ 6 $, 且 $ 5 \sqrt { 5 } ＞ 10 $,
若长与墙平行，墙长只有 $ 10 \mathrm { m } $, 故不能围成满足要求的长方形场地;
若宽与墙平行, 则能围成满足要求的长方形场地.
∴小军的说法正确.

答案： 解: 设长方形场地的长为 $ 5 x \mathrm { m } $, 宽为 $ 2 x \mathrm { m } $,
依题意, 得 $ 5 x \cdot 2 x = 50 $, $ \therefore x = \sqrt { 5 } $, $ \therefore $ 长方形场地的长为 $ 5 \sqrt { 5 } $, 宽为 $ 2 \sqrt { 5 } $.
$ \because 4 ＜ 5 ＜ 9 $, $ \therefore 2 ＜ \sqrt { 5 } ＜ 3 $, $ \therefore 2 \sqrt { 5 } ＜ 6 $, 且 $ 5 \sqrt { 5 } ＞ 10 $,
若长与墙平行, 墙长只有 $ 10 \mathrm { m } $, 故不能围成满足要求的长方形场地;
若宽与墙平行, 则能围成满足要求的长方形场地.
∴小军的说法正确.

24. 判断下列各式是否成立.
（1）$\sqrt[3]{2\frac{2}{7}}=2\cdot \sqrt[3]{\frac{2}{7}}$；成立
（2）$\sqrt[3]{3\frac{3}{26}}=3\cdot \sqrt[3]{\frac{3}{26}}$；成立
（3）$\sqrt[3]{4\frac{4}{63}}=4\cdot \sqrt[3]{\frac{4}{63}}$；成立
（4）$\sqrt[3]{5\frac{5}{124}}=5\cdot \sqrt[3]{\frac{5}{124}}$.成立
判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论.$\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^3 - 1}}=n\cdot\sqrt[3]{\frac{n}{n^3 - 1}}$（$n\geq2$）

答案： 解: 能. 观察题目可发现, 上述等式均遵循这样的规律:
$ \sqrt [ 3 ] { n + \frac { n } { n ^ { 3 } - 1 } } = n \cdot \sqrt [ 3 ] { \frac { n } { n ^ { 3 } - 1 } } ( n \geq 2 ) $,
故推广后可得 $ \sqrt [ 3 ] { n + \frac { n } { n ^ { 3 } - 1 } } = n \cdot \sqrt [ 3 ] { \frac { n } { n ^ { 3 } - 1 } } ( n \geq 2 ) $.