《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

19. 如右下图所示，已知 $ F $，$ E $ 分别是射线 $ AB $，$ CD $ 上的点。连接 $ AC $，$ AE $ 平分 $ \angle BAC $，$ EF $ 平分 $ \angle AED $，$ \angle 2 = \angle 3 $。
（1）求证：$ AB // CD $；
（2）若 $ \angle AFE - \angle 2 = 30^{\circ} $，求 $ \angle AFE $ 的度数。
(1) 证明：$\because AE$ 平分 $\angle BAC,\therefore \angle 1=\angle 2.$ $\because \angle 2=\angle 3,\therefore \angle 1=\angle 3,\therefore AB// CD.$
(2) 解：$\angle AFE=$$70^{\circ}$.

答案：
(1) 证明：$\because AE$ 平分 $\angle BAC,\therefore \angle 1=\angle 2.$ $\because \angle 2=\angle 3,\therefore \angle 1=\angle 3,\therefore AB// CD.$
(2) 解：$\angle AFE=70^{\circ}.$

20. 已知直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，且 $ OM $ 平分 $ \angle AOC $，$ OE \perp AB $ 于点 $ O $。
（1）如图①所示，若 $ ON $ 平分 $ \angle BOC $，求 $ \angle MON $ 的度数；90°
（2）如图②所示，若 $ \angle CON = \frac{1}{3} \angle EON $（$ \angle EON ＜ 180^{\circ} $），$ \angle MON = 80^{\circ} $，求 $ \angle BON $ 的度数。75°

答案： 解：
(1) $\because OM$ 平分 $\angle AOC,ON$ 平分 $\angle BOC,$ $\therefore \angle MOC=\frac {1}{2}\angle AOC,\angle CON=\frac {1}{2}\angle BOC,$ $\therefore \angle MOC+\angle CON=\frac {1}{2}(\angle AOC+\angle BOC),$ $\therefore \angle MON=\frac {1}{2}\angle AOB=\frac {1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}.$
(2) 设 $\angle BON=x^{\circ},$ $\because OE\perp AB,\therefore \angle BOE=90^{\circ},$ $\therefore \angle EON=90^{\circ}+x,$ $\therefore \angle CON=\frac {1}{3}\angle EON=30^{\circ}+\frac {1}{3}x^{\circ}.$ $\because \angle MON=80^{\circ},\therefore \angle COM=80^{\circ}-(30^{\circ}+\frac {1}{3}x^{\circ})=50^{\circ}-\frac {1}{3}x^{\circ}.$ $\because OM$ 平分 $\angle AOC,$ $\therefore \angle AOM=\angle COM=50^{\circ}-\frac {1}{3}x^{\circ}.$ $\because \angle AOM+\angle BON=100^{\circ},$ $\therefore 50^{\circ}-\frac {1}{3}x^{\circ}+x^{\circ}=100^{\circ},\therefore x=75,$ $\therefore \angle BON=75^{\circ}.$

21. 如右下图所示，直线 $ EF $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OA $ 平分 $ \angle COE $ 交直线 $ l $ 于点 $ A $，$ OB $ 平分 $ \angle DOE $ 交直线 $ l $ 于点 $ B $，且 $ \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} $。
（1）求 $ \angle AOB $ 的度数；90°
（2）求证：$ AB // CD $；
证明：由 (1) 得 $\angle AOB=90^{\circ},$ $\therefore \angle AOC+\angle 2=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.$ $\because \angle 1+\angle 2=90^{\circ},\therefore \angle AOC=\angle 1,$ $\therefore AB// CD.$
（3）若 $ \angle 2 : \angle 3 = 2 : 5 $，求 $ \angle AOF $ 的度数。130°

答案：
(1) 解：$\angle AOB=90^{\circ}.$
(2) 证明：由
(1) 得 $\angle AOB=90^{\circ},$ $\therefore \angle AOC+\angle 2=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.$ $\because \angle 1+\angle 2=90^{\circ},\therefore \angle AOC=\angle 1,$ $\therefore AB// CD.$
(3) 解：$\angle AOF=130^{\circ}.$