《2025年百年学典快乐假期暑假作业七年级人教版》

20. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队想在全部22场比赛中得到40分，这个队胜、负场数分别是多少？

答案： 解：设这个队胜了 $x$ 场，负了 $y$ 场，由题意得 $\begin{cases}x + y = 22, \\2x + y = 40.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 18, \\y = 4.\end{cases}$
答：这个队胜了 18 场，负了 4 场。

21. 已知关于$x$，$y$的方程组$\left\{\begin{array}{l} 4x-y=-5,\\ ax+by=-1\end{array}\right. $和$\left\{\begin{array}{l} 3x+y=-9,\\ 3ax+4by=18\end{array}\right. $有相同的解，求$\sqrt {a+b}$的平方根. $\pm\sqrt{2}$

答案： 解：根据题意得 $\begin{cases}4x - y = -5, \\3x + y = -9,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = -2, \\y = -3.\end{cases}$
把 $\begin{cases}x = -2, \\y = -3\end{cases}$ 代入方程 $ax + by = -1$ 和方程 $3ax + 4by = 18$ 中，得 $\begin{cases}-2a - 3b = -1, \\-6a - 12b = 18,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = 11, \\b = -7.\end{cases}$
∴ $a + b = 11 - 7 = 4$，
∴ $\sqrt{a + b} = \sqrt{4} = 2$。
∵ 2 的平方根是 $\pm\sqrt{2}$，
∴ $\sqrt{a + b}$ 的平方根是 $\pm\sqrt{2}$。

22. 把$y=ax+b$（其中$a$，$b$是常数，$x$，$y$是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”.当$y=x$时，“雅系二元一次方程”$y=ax+b$中$x$的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如，当$y=x$时，“雅系二元一次方程”$y=3x-4$化为$x=3x-4$，其“完美值”为$x=2$.
（1）求“雅系二元一次方程”$y=-2x+3$的“完美值”.
解：当$y=x$时，$x=-2x+3$，解得$x=$1，则“雅系二元一次方程”$y=-2x+3$的“完美值”为$x=$1.
（2）$x=-1$是“雅系二元一次方程”$y=5x+m$的“完美值”，求$m$的值.
解：把$x=-1$，$y=x$代入$y=5x+m$，得$-1=-5+m$，解得$m=$4.
（3）是否存在$n$使“雅系二元一次方程”$y=-x+n-1$与$y=\frac{1}{2}x-n$（$n$为常数）的“完美值”相同？若存在，求出$n$的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由.
解：存在.把$y=x$代入方程，得$x=-x+n-1$，$x=\frac{1}{2}x-n$，解得$x=\frac{n-1}{2}$，$x=-2n$，若“雅系二元一次方程”$y=-x+n-1$与$y=\frac{1}{2}x-n$（$n$为常数）的“完美值”相同，则有$\frac{n-1}{2}=-2n$，解得$n=$$\frac{1}{5}$.把$n=$$\frac{1}{5}$代入方程，得$y=-x-\frac{4}{5}$与$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{5}$，把$y=x$代入得$x=-x-\frac{4}{5}$，解得$x=$$-\frac{2}{5}$，则存在$n=$$\frac{1}{5}$，使“雅系二元一次方程”$y=-x+n-1$与$y=\frac{1}{2}x-n$（$n$为常数）的“完美值”相同，此时“完美值”为$x=$$-\frac{2}{5}$.

答案： 解：
(1) 当 $y = x$ 时，$x = -2x + 3$，解得 $x = 1$，则“雅系二元一次方程” $y = -2x + 3$ 的“完美值”为 $x = 1$。
(2) 把 $x = -1$，$y = x$ 代入 $y = 5x + m$，得 $-1 = -5 + m$，解得 $m = 4$。
(3) 存在。把 $y = x$ 代入方程，得 $x = -x + n - 1$，$x = \frac{1}{2}x - n$，解得 $x = \frac{n - 1}{2}$，$x = -2n$，若“雅系二元一次方程” $y = -x + n - 1$ 与 $y = \frac{1}{2}x - n$（$n$ 为常数）的“完美值”相同，则有 $\frac{n - 1}{2} = -2n$，解得 $n = \frac{1}{5}$。
把 $n = \frac{1}{5}$ 代入方程，得 $y = -x - \frac{4}{5}$ 与 $y =\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}$，把 $y = x$ 代入得 $x = -x - \frac{4}{5}$，解得 $x = -\frac{2}{5}$，则存在 $n = \frac{1}{5}$，使“雅系二元一次方程” $y = -x + n - 1$ 与 $y = \frac{1}{2}x - n$（$n$ 为常数）的“完美值”相同，此时“完美值”为 $x = -\frac{2}{5}$。