《2025年赢在暑假抢分计划七年级数学人教版》

1. 观察：
$\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{4 × 2}{5}} = 2\sqrt{\frac{2}{5}}$,即$\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = 2\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{27}{10}} = \sqrt{\frac{9 × 3}{10}}$,即$\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = 3\sqrt{\frac{3}{10}}$；…
(1)猜想：$\sqrt{4 - \frac{4}{17}}$,$\sqrt{5 - \frac{5}{26}}$分别等于什么？
(2)你发现了什么规律？请用含有$n$的式子将规律表示出来.

答案： 解：
(1)$\sqrt {4-\frac {4}{17}}=4\sqrt {\frac {4}{17}}$，$\sqrt {5-\frac {5}{26}}=5\sqrt {\frac {5}{26}}$；
(2)第$n$个式子为$\sqrt {n-\frac {n}{n^{2}+1}}=n\sqrt {\frac {n}{n^{2}+1}}$。

2. 利用计算器计算：
(1)$\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = $4；
(2)$\sqrt{55^{2} - 33^{2}} = $44；
(3)$\sqrt{555^{2} - 333^{2}}$444；
(4)猜想$\sqrt{\underbrace{55… 5}_{80个5}^{2} - \underbrace{33… 3}_{80个3}^{2}}$的值是多少？$\underbrace{44… 4}_{80个4}$

答案： 解：
(1)$4$
(2)$44$
(3)$444$
(4)$\sqrt{\underset{80个5}{\underbrace{55\cdots 5}}{}^{2}-\underset{80个3}{\underbrace{33\cdots 3}}{}^{2}}=\underset{80个4}{\underbrace{44\cdots 4}}$。

3. 如图,动点$P$在平面直角坐标系中按图中所示方向运动,第一次从原点$O运动到点P_{1}(1,1)$,第二次运动到点$P_{2}(2,1)$,第三次运动到点$P_{3}(3,0)$,第四次运动到点$P_{4}(4,-2)$,第五次运动到点$P_{5}(5,0)$,第六次运动到点$P_{6}(6,2)$,…,按这样的运动规律,点$P_{2025}$的纵坐标是(C)

A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： C

4. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个整点,按图中→方向排列,即$(0,0) \to (0,1) \to (1,1) \to (2,2) \to (2,3) \to (3,3) \to (4,4)$,…,则按此规律排列下去,第$23$个点的坐标为(D)

A.$(13,13)$
B.$(14,14)$
C.$(15,15)$
D.$(14,15)$

答案： D