《2025年赢在暑假抢分计划七年级数学人教版》

17. (10分)小明和小刚一同解关于 $ x $,$ y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} ax + by = 26, \\ cx + y = 6. \end{cases} $ 小明说：“我得到的正确的解是 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = -2, \end{cases} $ 小刚你呢？”小刚说：“我由于把 $ c $ 写错了而得到的解是 $ \begin{cases} x = 7, \\ y = 3. \end{cases} $ ”请你根据小明和小刚的对话,求出 $ a $,$ b $,$ c $ 的值.

答案： 解：把$\begin{cases}x = 4,\\y = -2,\end{cases}$$\begin{cases}x = 7,\\y = 3,\end{cases}$分别代入$ax + by = 26$，得$\begin{cases}4a - 2b = 26,\\7a + 3b = 26,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 5,\\b = -3.\end{cases}$把$\begin{cases}x = 4,\\y = -2\end{cases}$代入$cx + y = 6$，得$c = 2$。即$a = 5$，$b = -3$，$c = 2$。

18. (10分)已知关于 $ x $,$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} x + y = 5, \\ 4ax + 5by = -22 \end{cases} $ 与 $ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ ax - by - 8 = 0 \end{cases} $ 有相同的解.
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)求 $ 2a - 3b $ 的立方根.

答案： 解：（1）
∵关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\4ax + 5by = -22\end{cases}$与$\begin{cases}2x - y = 1,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$有相同的解，
∴$\begin{cases}x + y = 5,①\\2x - y = 1,②\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 3.\end{cases}$
∴$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}4ax + 5by = -22,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$的解，
∴$\begin{cases}8a + 15b = -22,\\2a - 3b = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -2.\end{cases}$
∴$a = 1$，$b = -2$；（2）
∵$a = 1$，$b = -2$，
∴$2a - 3b = 2×1 - 3×(-2) = 2 + 6 = 8$，
∵8的立方根为2，
∴$2a - 3b$的立方根为2。

19. (11分)阅读材料：善于思考的小军在解方程组 $ \begin{cases} 2x + 5y = 3,① \\ 4x + 11y = 5② \end{cases} $ 时,采用了一种“整体代换”的解法,他的解答过程如下：
解：将方程②变形为 $ 4x + 10y + y = 5 $,即 $ 2(2x + 5y) + y = 5 $. ③
把方程①代入③,得 $ 2×3 + y = 5 $,解得 $ y = -1 $.
把 $ y = -1 $ 代入①,得 $ x = 4 $,
则方程组的解为 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = -1. \end{cases} $
请你解决下列问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 $ \begin{cases} 3x - 2y = 5,① \\ 9x - 4y = 19;② \end{cases} $
(2)已知 $ x $,$ y $ 满足方程组 $ \begin{cases} 3x^{2} - 2xy + 12y^{2} = 47,① \\ 2x^{2} + xy + 8y^{2} = 36,② \end{cases} $ 求整式 $ x^{2} + 4y^{2} + xy $ 的值.

答案： 解：（1）把方程②变形为$9x - 6y + 2y = 19$，即$3(3x - 2y) + 2y = 19$③。把方程①代入③，得$3×5 + 2y = 19$，解得$y = 2$。把$y = 2$代入①，得$x = 3$，则方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$（2）由①+②×2，得$7x^2 + 28y^2 = 119$，即$x^2 + 4y^2 = 17$③。把③代入②，得$2×17 + xy = 36$，解得$xy = 2$。故$x^2 + 4y^2 + xy = 17 + 2 = 19$。