《2025年赢在暑假抢分计划七年级数学人教版》

19. (12分)某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用A,B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案？
(3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金为每辆300元,应该怎样租车才最合算？

答案： 解：
(1)设原计划租用 $ A $ 种客车 $ x $ 辆，则这次研学去了 $ (45x + 30) $ 人。根据题意，得 $ 45x + 30 = 60(x - 6) $，解得 $ x = 26 $，所以 $ 45x + 30 = 45 × 26 + 30 = 1200 $。答：原计划租用 $ A $ 种客车 26 辆，这次研学去了 1200 人；
(2)设租用 $ B $ 种客车 $ y $ 辆，则租用 $ A $ 种客车 $ (25 - y) $ 辆。根据题意，得 $ \begin{cases} 45(25 - y) + 60y \geq 1200 \\ y \leq 7 \end{cases} $，解得 $ 5 \leq y \leq 7 $。因为 $ y $ 为正整数，所以 $ y $ 可以为 5，6，7，所以该学校共有 3 种租车方案。方案 1：租用 5 辆 $ B $ 种客车，20 辆 $ A $ 种客车；方案 2：租用 6 辆 $ B $ 种客车，19 辆 $ A $ 种客车；方案 3：租用 7 辆 $ B $ 种客车，18 辆 $ A $ 种客车；
(3)选择方案 1 的总租金为 $ 300 × 5 + 220 × 20 = 5900 $（元）；选择方案 2 的总租金为 $ 300 × 6 + 220 × 19 = 5980 $（元）；选择方案 3 的总租金为 $ 300 × 7 + 220 × 18 = 6060 $（元）。因为 $ 5900 ＜ 5980 ＜ 6060 $，所以租用 5 辆 $ B $ 种客车，20 辆 $ A $ 种客车最合算。

20. (12分)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题：
新知：
解不等式：$( x - 3 ) ( x - 5 ) ＞ 0$.
解：由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
①$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 ＞ 0, } \\ { x - 5 ＞ 0 } \end{array} \right.$或②$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 ＜ 0, } \\ { x - 5 ＜ 0. } \end{array} \right.$
解不等式组①,得$x ＞ 5$.
解不等式组②,得$x ＜ 3$.
$\therefore ( x - 3 ) ( x - 5 ) ＞ 0的解集为x ＞ 5或x ＜ 3$.
应用：
(1)不等式$( x - 3 ) ( x - 5 ) ＜ 0$的解集为____3＜x＜5.
(2)已知关于x,y的二元一次方程组$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 - m, } \\ { x - y = 3 m - 1 } \end{array} \right.的解满足x y ＞ 0$,求m的取值范围.
解：解方程组$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 - m } \\ { x - y = 3m - 1 } \end{array} \right.$得$\left\{ \begin{array} { l } { x = m + 1 } \\ { y = 2 - 2m } \end{array} \right.$。因为$xy＞0$，所以$\left\{ \begin{array} { l } { x＞0 } \\ { y＞0 } \end{array} \right.$或$\left\{ \begin{array} { l } { x＜0 } \\ { y＜0 } \end{array} \right.$。所以$\left\{ \begin{array} { l } { m + 1＞0 } \\ { 2 - 2m＞0 } \end{array} \right.$，解得$-1＜m＜1$或$\left\{ \begin{array} { l } { m + 1＜0 } \\ { 2 - 2m＜0 } \end{array} \right.$（此不等式组无解）。综上所述，m的取值范围是____-1＜m＜1。

答案： 解：
(1) $ 3 ＜ x ＜ 5 $
(2)解方程组 $ \begin{cases} x + y = 3 - m \\ x - y = 3m - 1 \end{cases} $ 得 $ \begin{cases} x = m + 1 \\ y = 2 - 2m \end{cases} $。因为 $ xy ＞ 0 $，所以 $ \begin{cases} x ＞ 0 \\ y ＞ 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x ＜ 0 \\ y ＜ 0 \end{cases} $。所以 $ \begin{cases} m + 1 ＞ 0 \\ 2 - 2m ＞ 0 \end{cases} $，解得 $ -1 ＜ m ＜ 1 $ 或 $ \begin{cases} m + 1 ＜ 0 \\ 2 - 2m ＜ 0 \end{cases} $（此不等式组无解）。综上所述，$ m $ 的取值范围是 $ -1 ＜ m ＜ 1 $。