《2025年赢在暑假抢分计划七年级数学人教版》

1. 如图,将一副直角三角板的顶点叠合在一起,记为点 $ O ( \angle C = 30 ^ { \circ }, \angle A = 45 ^ { \circ } ) $。若 $ \angle A O C = 45 ^ { \circ } $,则 $ \angle D O B $ 的度数为 (C)

A.$ 60 ^ { \circ } $
B.$ 65 ^ { \circ } $
C.$ 75 ^ { \circ } $
D.$ 85 ^ { \circ } $

答案： C

2. 如图,$ C $,$ D $ 是线段 $ A B $ 上的两个点,且 $ C D = 3 \mathrm { cm } $,$ M $ 是 $ A C $ 的中点,$ N $ 是 $ D B $ 的中点。若 $ A B = 7.8 \mathrm { cm } $,则线段 $ M N $ 的长为 (A)

A.$ 5.4 \mathrm { cm } $
B.$ 5.6 \mathrm { cm } $
C.$ 5.8 \mathrm { cm } $
D.$ 6 \mathrm { cm } $

答案： A

3. 若一个角的余角的两倍与这个角的补角的和为 $ 210 ^ { \circ } $,则这个角的度数为$50^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$

4. 如图所示,已知 $ B $,$ C $ 两点把线段 $ A D $ 分成 $ 2 : 5 : 3 $ 三部分,点 $ M $ 为 $ A D $ 的中点,$ B M = 6 \mathrm { cm } $,求 $ C M $ 和 $ A D $ 的长。

答案： 解：设 $AB = 2x\ \text{cm}$，$BC = 5x\ \text{cm}$，$CD = 3x\ \text{cm}$，则 $AD = AB + BC + CD = 10x$。因为点 $M$ 是 $AD$ 的中点，所以 $AM = MD = \frac{1}{2}AD = 5x$。所以 $BM = AM - AB = 5x - 2x = 3x$。因为 $BM = 6\ \text{cm}$，所以 $3x = 6$，解得 $x = 2$。故 $CM = MD - CD = 5x - 3x = 2x = 2×2 = 4(\text{cm})$，$AD = 10x = 10×2 = 20(\text{cm})$。

5. 如图,$ 2 \angle B O C = \angle A O C $,$ \angle A O C $ 的余角比 $ \angle B O C $ 的 $ 2 $ 倍小 $ 30 ^ { \circ } $,作射线 $ O D $,使得 $ \angle A O C = 4 \angle A O D $,求 $ \angle D O C $ 的度数。

答案： 解：设 $\angle BOC = x$，则 $\angle AOC = 2x$。由题意，得 $90^{\circ} - 2x = 2x - 30^{\circ}$，解得 $x = 30^{\circ}$，即 $\angle AOC = 60^{\circ}$。①当射线 $OD$ 在 $\angle AOC$ 内部时，$\angle AOD = 15^{\circ}$，则 $\angle DOC = \angle AOC - \angle AOD = 45^{\circ}$；②当射线 $OD$ 在 $\angle AOC$ 外部时，$\angle AOD = 15^{\circ}$，则 $\angle DOC = \angle AOC + \angle AOD = 75^{\circ}$。所以 $\angle DOC = 45^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$。

6. 如图,$ O C $ 在 $ \angle A O B $ 的外部,$ O M $,$ O N $ 分别平分 $ \angle A O C $,$ \angle B O C $,则 $ \angle M O N = \frac { 1 } { 2 } \angle A O B $,请说明理由。

答案： 解：因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，所以 $\angle COM = \frac{1}{2}\angle AOC$。因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle CON = \frac{1}{2}\angle BOC$。因为 $\angle MON = \angle COM - \angle CON$，所以 $\angle MON = \frac{1}{2}(\angle AOC - \angle BOC) = \frac{1}{2}\angle AOB$。

7. (1) 如图 1,点 $ P $ 在线段 $ A B $ 的延长线上,点 $ C $ 是线段 $ A B $ 的中点,式子 $ \frac { P A + P B } { P C } $ 的值是否变化？若不变,请求其值；
(2) 如图 2,点 $ C $ 在线段 $ A B $ 的延长线上,且满足 $ A C - B C = b $,点 $ M $,$ N $ 分别是线段 $ A C $,$ B C $ 的中点,你能表示出 $ M N $ 的长吗？

答案： 解：
(1)值不变，设 $AC = x$，$PB = y$，因为点 $C$ 是线段 $AB$ 的中点，所以 $BC = x$，$PA = 2x + y$，$PC = x + y$，则 $\frac{PA + PB}{PC} = \frac{2x + y + y}{x + y} = \frac{2(x + y)}{x + y} = 2$；
(2)根据图形和题意，得 $MN = MC - NC = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC - BC) = \frac{1}{2}b$。