《2025年赢在暑假抢分计划七年级数学人教版》

8. 如图,数轴上有 $ A $,$ B $ 两点,$ A $ 在 $ B $ 的左侧,表示的有理数分别为 $ a $,$ b $,已知 $ A B = 12 $,原点 $ O $ 是线段 $ A B $ 上的一点,且 $ O A = 2 O B $。

(1) $ a = $______-8,$ b = $______4；
(2) 若动点 $ P $,$ Q $ 分别从 $ A $,$ B $ 同时出发,向右运动,点 $ P $ 的速度为每秒 $ 2 $ 个单位长度,点 $ Q $ 的速度为每秒 $ 1 $ 个单位长度,设运动时间为 $ t $ 秒,当点 $ P $ 与点 $ Q $ 重合时,$ P $,$ Q $ 两点停止运动。当 $ t $ 为何值时,$ 2 O P - O Q = 4 $？
当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时，$2t = 12 + t$，解得 $t = 12$。当 $0 ＜ t \leq 4$ 时，如图 1，$AP = 2t$，$OP = 8 - 2t$，$BQ = t$，$OQ = 4 + t$。因为 $2OP - OQ = 4$，所以 $2(8 - 2t) - (4 + t) = 4$，解得 $t = 1.6$。当 $4 ＜ t \leq 12$ 时，如图 2，$OP = 2t - 8$，$OQ = 4 + t$，则 $2(2t - 8) - (4 + t) = 4$，$t = 8$。综上所述，当 $t$ 为 $1.6$ 或 $8$ 时，$2OP - OQ = 4$。

答案： 解：
(1) $-8$ $4$
(2)当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时，$2t = 12 + t$，解得 $t = 12$。当 $0 ＜ t \leq 4$ 时，如图 1，$AP = 2t$，$OP = 8 - 2t$，$BQ = t$，$OQ = 4 + t$。因为 $2OP - OQ = 4$，所以 $2(8 - 2t) - (4 + t) = 4$，解得 $t = 1.6$。当 $4 ＜ t \leq 12$ 时，如图 2，$OP = 2t - 8$，$OQ = 4 + t$，则 $2(2t - 8) - (4 + t) = 4$，$t = 8$。综上所述，当 $t$ 为 $1.6$ 或 $8$ 时，$2OP - OQ = 4$。
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![img alt=图2]

9. 已知 $ O $ 为直线 $ A B $ 上的一点,射线 $ O A $ 表示正北方向,$ \angle C O E = 90 ^ { \circ } $,射线 $ O F $ 平分 $ \angle A O E $。
(1) 如图 1,若 $ \angle B O E = 70 ^ { \circ } $,则 $ \angle C O F $ 的度数是______35°；
(2) 若将 $ \angle C O E $ 绕点 $ O $ 旋转至图 2 的位置,试判断 $ \angle C O F $ 和 $ \angle B O E $ 之间的数量关系,并说明理由；
(3) 若将 $ \angle C O E $ 绕点 $ O $ 旋转至图 3 的位置,直接写出 $ 2 \angle C O F + \angle B O E $ 的度数是______360°。

答案： 解：
(1) $35^{\circ}$
(2) $\angle BOE = 2\angle COF$，理由如下：设 $\angle BOE = x^{\circ}$，则 $\angle AOE = (180 - x)^{\circ}$。因为 $OF$ 平分 $\angle AOE$，所以 $\angle EOF = \frac{1}{2}\angle AOE = (90 - \frac{1}{2}x)^{\circ}$。因为 $\angle COE = 90^{\circ}$，所以 $\angle COF = 90^{\circ} - (90 - \frac{1}{2}x)^{\circ} = \frac{1}{2}x^{\circ}$。所以 $\angle BOE = 2\angle COF$；
(3) $360^{\circ}$