《2025年赢在暑假抢分计划七年级数学人教版》

1. (1)如图 1,已知 $ AB // CD $,试说明 $ \angle AEP + \angle CFP = \angle EPF $;
(2)如图 2,$ AB // CD $,请写出 $ \angle AEP $,$ \angle EPF $,$ \angle CFP $之间的数量关系,并说明理由.

答案：
解：
(1)如图 1，过点 P 作 $PG // AB$。因为 $AB // CD$，所以 $PG // CD$，所以 $ \angle AEP = \angle 1$，$ \angle CFP = \angle 2$。又因为 $ \angle 1 + \angle 2 = \angle EPF$，所以 $ \angle AEP + \angle CFP = \angle EPF$；
(2)如图 2，过点 P 作 $PG // AB$。因为 $AB // CD$，所以 $PG // CD$，所以 $ \angle AEP + \angle GPE = 180^{\circ}$，$ \angle CFP + \angle GPF = 180^{\circ}$，所以 $ \angle AEP + \angle GPE + \angle CFP + \angle GPF = 360^{\circ}$。又因为 $ \angle GPE + \angle GPF = \angle EPF$，所以 $ \angle AEP + \angle EPF + \angle CFP = 360^{\circ}$。

2. 已知 $ AB // CD $,点 $ E $,$ F $分别在 $ AB $,$ CD $上,点 $ O $在 $ AB $,$ CD $之间,$ O $,$ B $,$ D $三点均在直线 $ EF $的同侧.
(1)如图 1,试说明:$ \angle EOF = \angle BEO + \angle DFO $;
(2)如图 2,若 $ OE \perp OF $,$ EG $,$ FG $分别平分 $ \angle BEO $和 $ \angle DFO $,求 $ \angle G $的度数;

(3)如图 3,若 $ \angle EOF $的度数为 $ \alpha $,$ EM $平分 $ \angle BEO $交 $ FO $的延长线于点 $ M $,$ FN $平分 $ \angle DFO $交 $ EO $的延长线于点 $ N $,求 $ \angle M + \angle N $的度数(用含 $ \alpha $的式子表示).

答案： 解：
(1)过点 O 向左作 $OP // AB$，则 $ \angle EOP = \angle BEO$。因为 $OP // AB$，$AB // CD$，所以 $OP // CD$。所以 $ \angle FOP = \angle DFO$。所以 $ \angle EOF = \angle EOP + \angle FOP = \angle BEO + \angle DFO$；
(2)因为 $OE \perp OF$，所以 $ \angle EOF = 90^{\circ}$。由
(1)知 $ \angle BEO + \angle DFO = 90^{\circ}$，$ \angle G = \angle BEG + \angle DFG$。因为 EG，FG 分别平分 $ \angle BEO$ 和 $ \angle DFO$，所以 $ \angle G = \angle BEG + \angle DFG = \frac{1}{2}(\angle BEO + \angle DFO) = \frac{1}{2}\angle EOF = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ}$；
(3)设 $ \angle BEO$ 的度数为 x，$ \angle DFO$ 的度数为 y，则由
(1)得 $x + y = \alpha$。由
(1)
(2)得 $ \angle M = \angle BEM + \angle DFM = \frac{1}{2}x + y$ ①，$ \angle N = \angle BEN + \angle DFN = x + \frac{1}{2}y$ ②。① + ②得 $ \angle M + \angle N = \frac{3}{2}(x + y) = \frac{3}{2}\alpha$。

3. 如图,已知 $ AB // CD $.
(1)如图 1,$ EF $分别和 $ AB $,$ CD $相交于点 $ E $,$ F $,试说明 $ \angle 1 = \angle 2 $;
(2)如图 2,试猜想 $ \angle 1 $,$ \angle 2 $,$ \angle EFD $之间有什么数量关系,并说明理由;
(3)如图 3,若 $ FH \perp AB $于点 $ E $,$ \angle 1 = 40^{\circ} $,求 $ \angle EFD $的度数.

答案：
解：
(1)因为 $AB // CD$，所以 $ \angle 2 = \angle EFD$。因为 $ \angle 1 = \angle EFD$，所以 $ \angle 1 = \angle 2$；
(2)猜想的结论是：$ \angle 1 + \angle 2 = \angle EFD$。理由：如图 1，过点 F 作 $FG // AB$。因为 $FG // AB$，$AB // CD$，所以 $AB // FG // CD$，所以 $ \angle 1 = \angle DFG$，$ \angle 2 = \angle EFG$，所以 $ \angle 1 + \angle 2 = \angle DFG + \angle EFG$。因为 $ \angle DFG + \angle EFG = \angle EFD$，所以 $ \angle 1 + \angle 2 = \angle EFD$；
(3)如图 2，过点 F 作 $FG // AB$。因为 $FG // AB$，$AB // CD$，所以 $AB // FG // CD$。所以 $ \angle EFG = \angle AEF$，$ \angle DFG = \angle 1 = 40^{\circ}$。因为 $FH \perp AB$，所以 $ \angle AEF = 90^{\circ}$，所以 $ \angle EFG = 90^{\circ}$。所以 $ \angle EFD = \angle EFG + \angle DFG = 90^{\circ} + 40^{\circ} = 130^{\circ}$。