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5. 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$DE// AC$，$AE// BD$.
(1)求证：四边形$AODE$是矩形；
(2)连接$CE$，若$AB = 2\sqrt{3}$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，求$CE$的长.
(1)求证：四边形$AODE$是矩形；
(2)连接$CE$，若$AB = 2\sqrt{3}$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，求$CE$的长.
答案：
1. （1）证明：
因为$DE// AC$，$AE// BD$，
根据平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$AODE$是平行四边形。
又因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质（菱形的对角线互相垂直），所以$AC\perp BD$，即$\angle AOD = 90^{\circ}$。
再根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以平行四边形$AODE$是矩形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，$AB = 2\sqrt{3}$，所以$AB=BC = CD = DA=2\sqrt{3}$。
因为$\angle BCD = 120^{\circ}$，$AB// CD$，所以$\angle ABC=60^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$AC = AB = 2\sqrt{3}$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，$OB = OD$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB = 2\sqrt{3}$，$a = OA=\sqrt{3}$），则$OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{12 - 3}=3$，所以$OD = 3$。
因为四边形$AODE$是矩形，所以$AE = OD = 3$，$DE = OA=\sqrt{3}$，$\angle EAC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AC = 2\sqrt{3}$，$AE = 3$，根据勾股定理$CE=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}$。
把$AE = 3$，$AC = 2\sqrt{3}$代入可得：$CE=\sqrt{3^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9 + 12}=\sqrt{21}$。
综上，（1）得证；（2）$CE$的长为$\sqrt{21}$。
因为$DE// AC$，$AE// BD$，
根据平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$AODE$是平行四边形。
又因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质（菱形的对角线互相垂直），所以$AC\perp BD$，即$\angle AOD = 90^{\circ}$。
再根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以平行四边形$AODE$是矩形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，$AB = 2\sqrt{3}$，所以$AB=BC = CD = DA=2\sqrt{3}$。
因为$\angle BCD = 120^{\circ}$，$AB// CD$，所以$\angle ABC=60^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$AC = AB = 2\sqrt{3}$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，$OB = OD$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB = 2\sqrt{3}$，$a = OA=\sqrt{3}$），则$OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{12 - 3}=3$，所以$OD = 3$。
因为四边形$AODE$是矩形，所以$AE = OD = 3$，$DE = OA=\sqrt{3}$，$\angle EAC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AC = 2\sqrt{3}$，$AE = 3$，根据勾股定理$CE=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}$。
把$AE = 3$，$AC = 2\sqrt{3}$代入可得：$CE=\sqrt{3^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9 + 12}=\sqrt{21}$。
综上，（1）得证；（2）$CE$的长为$\sqrt{21}$。
6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AC = 2AB$，$AD$是$BC$边上的中线，过点$A$作$AE// BC$，过点$D$作$DE// AB$与$AC$，$AE$分别交于点$O$，$E$，连接$EC$.
(1)求证：四边形$ADCE$为菱形；
(2)设$OD = a$，求菱形$ADCE$的周长.
(1)求证：四边形$ADCE$为菱形；
(2)设$OD = a$，求菱形$ADCE$的周长.
答案：
1. （1）证明：
因为$AE// BC$，$DE// AB$，所以四边形$ABDE$是平行四边形。
则$AE = BD$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是$BC$边上的中线，根据直角三角形斜边中线定理$AD = BD = CD$。
又因为$AE = BD$，所以$AE = CD$，且$AE// CD$。
所以四边形$ADCE$是平行四边形。
又因为$AD = CD$，根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形），所以平行四边形$ADCE$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$ADCE$是菱形，所以$AC\perp DE$，$AO = CO$，$DO = EO$。
因为$DE// AB$，所以$\angle AOD=\angle BAC = 90^{\circ}$，$\triangle AOD\sim\triangle CAB$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$AB = 2OD$（由$\triangle AOD\sim\triangle CAB$，相似比$\frac{OD}{AB}=\frac{1}{2}$，因为$AC = 2AB$，$AO=\frac{1}{2}AC$）。
已知$OD = a$，则$AB = 2a$，$AC = 2AB = 4a$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AO^{2}+OD^{2}}$，因为$AO=\frac{1}{2}AC = 2a$，$OD = a$，所以$AD=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=\sqrt{5}a$。
菱形$ADCE$的周长$C = 4AD$。
所以$C = 4\sqrt{5}a$。
综上，（1）证明如上；（2）菱形$ADCE$的周长为$4\sqrt{5}a$。
因为$AE// BC$，$DE// AB$，所以四边形$ABDE$是平行四边形。
则$AE = BD$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是$BC$边上的中线，根据直角三角形斜边中线定理$AD = BD = CD$。
又因为$AE = BD$，所以$AE = CD$，且$AE// CD$。
所以四边形$ADCE$是平行四边形。
又因为$AD = CD$，根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形），所以平行四边形$ADCE$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$ADCE$是菱形，所以$AC\perp DE$，$AO = CO$，$DO = EO$。
因为$DE// AB$，所以$\angle AOD=\angle BAC = 90^{\circ}$，$\triangle AOD\sim\triangle CAB$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$AB = 2OD$（由$\triangle AOD\sim\triangle CAB$，相似比$\frac{OD}{AB}=\frac{1}{2}$，因为$AC = 2AB$，$AO=\frac{1}{2}AC$）。
已知$OD = a$，则$AB = 2a$，$AC = 2AB = 4a$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AO^{2}+OD^{2}}$，因为$AO=\frac{1}{2}AC = 2a$，$OD = a$，所以$AD=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=\sqrt{5}a$。
菱形$ADCE$的周长$C = 4AD$。
所以$C = 4\sqrt{5}a$。
综上，（1）证明如上；（2）菱形$ADCE$的周长为$4\sqrt{5}a$。
7. 如图，在$□ ABCD$中，$BC = 2AB$，$AB\perp AC$，分别在边$BC$，$AD$上的点$E$，$F$关于$AC$对称，$AC$与$EF$相交于点$O$，连接$AE$，$CF$，$DE$.
(1)试判断四边形$AECF$的形状，并说明理由；
(2)求证：$AE\perp DE$.
(1)试判断四边形$AECF$的形状，并说明理由；
(2)求证：$AE\perp DE$.
答案：
1. （1）
解：四边形$AECF$是菱形。
理由：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle FAO=\angle ECO$。
又因为点$E$，$F$关于$AC$对称，所以$AO = CO$，$EF\perp AC$，$\angle AOF=\angle COE = 90^{\circ}$。
在$\triangle AOF$和$\triangle COE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FAO=\angle ECO\\AO = CO\\\angle AOF=\angle COE\end{array}\right.$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle AOF\cong\triangle COE$。
所以$AF = CE$。
又因为$AF// CE$，所以四边形$AECF$是平行四边形。
又因为$EF\perp AC$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$AECF$是菱形。
2. （2）
证明：
设$AB = x$，因为$BC = 2AB$，所以$BC = 2x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB\perp AC$，根据勾股定理$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$，将$BC = 2x$，$AB = x$代入可得$AC=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{4x^{2}-x^{2}}=\sqrt{3x^{2}}=\sqrt{3}x$。
因为四边形$AECF$是菱形，所以$AE = CE$。
又因为$BC = 2AB$，$AB\perp AC$，$\angle ACB = 30^{\circ}$（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，这里$AB=\frac{1}{2}BC$），所以$\angle B = 60^{\circ}$。
因为$AE = BE$（$AE = CE$，$BC = 2AB$，$AB = BE$），所以$\triangle ABE$是等边三角形，则$AE = AB$，$\angle AEB = 60^{\circ}$，所以$\angle AEC = 120^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AD = BC$，$AD// BC$，$AB = CD$，又$AE = AB$，所以$AE = CD$。
因为$CE = AE$，$BC = 2AB$，所以$BE = AB = AE$，$CE = AB$，$AD = 2AB$，$AF = CE$，所以$FD = AB$，即$AE = FD$。
又因为$AD// BC$，所以$\angle DCE=\angle ADC$。
在$\triangle ADE$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CD\\\angle AED=\angle DCE\\ED = DE\end{array}\right.$（$SAS$：边角边，$\angle AED = 180^{\circ}-\angle AEB=120^{\circ}$，$\angle DCE = 180^{\circ}-\angle BCD$，$\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle DCE = 120^{\circ}$）。
所以$\triangle ADE\cong\triangle DCE$，则$\angle ADE=\angle CDE$。
因为$AD// BC$，$\angle AEB = 60^{\circ}$，所以$\angle EAD=\angle AEB = 60^{\circ}$。
又因为$AD = 2AB$，$AE = AB$，所以$AD = 2AE$。
在$\triangle ADE$中，设$AE = a$，$AD = 2a$，过$E$作$EH\perp AD$于$H$。
因为$\angle EAH = 60^{\circ}$，$\angle AHE = 90^{\circ}$，所以$\angle AEH = 30^{\circ}$，则$AH=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}a$，$EH=\sqrt{AE^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{1}{2}a\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$HD=AD - AH=2a-\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$。
根据勾股定理$DE=\sqrt{EH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}a\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{9}{4}a^{2}}=\sqrt{3}a$。
再根据勾股定理逆定理，$AE^{2}+DE^{2}=a^{2}+3a^{2}=4a^{2}$，$AD^{2}=(2a)^{2}=4a^{2}$。
所以$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，根据勾股定理逆定理可得$\angle AED = 90^{\circ}$，即$AE\perp DE$。
另一种方法：
（2）证明：
因为四边形$AECF$是菱形，所以$AE = CE$，$\angle EAC=\angle ECA$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AD = BC$，$AD// BC$，$AB = CD$。
设$AB = x$，则$BC = 2x$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 30^{\circ}$。
因为$AE = BE$（$AE = CE$，$BC = 2AB$），所以$\triangle ABE$是等边三角形，$AE = AB$，$\angle BAE = 60^{\circ}$。
因为$AD// BC$，所以$\angle EAD=\angle AEB = 60^{\circ}$，$AD = 2AB$，$AE = AB$，所以$AD = 2AE$。
连接$AC$，$BD$交于点$O$（平行四边形对角线互相平分），因为$AB\perp AC$，$O$是$BD$中点，$E$是$BC$中点（$AE = CE$），所以$OE// CD$，$OE=\frac{1}{2}CD$（三角形中位线定理）。
又因为$AE = AB = CD$，$AD = 2AB$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}$。
因为$\angle DAB = 120^{\circ}$（$\angle B = 60^{\circ}$，$AD// BC$），$\vert\overrightarrow{AD}\vert = 2\vert\overrightarrow{AE}\vert$，$\vert\overrightarrow{AE}\vert=\vert\overrightarrow{CD}\vert$。
根据向量数量积公式$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\cdot(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE})$，因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AE}$（$AE = CE$，方向相反）。
$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CE}=\vert\overrightarrow{AE}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AE}\vert^{2}=0$。
因为$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE} = 0$，所以$\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{DE}$，即$AE\perp DE$。
综上，（1）四边形$AECF$是菱形；（2）$AE\perp DE$得证。
解：四边形$AECF$是菱形。
理由：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle FAO=\angle ECO$。
又因为点$E$，$F$关于$AC$对称，所以$AO = CO$，$EF\perp AC$，$\angle AOF=\angle COE = 90^{\circ}$。
在$\triangle AOF$和$\triangle COE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FAO=\angle ECO\\AO = CO\\\angle AOF=\angle COE\end{array}\right.$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle AOF\cong\triangle COE$。
所以$AF = CE$。
又因为$AF// CE$，所以四边形$AECF$是平行四边形。
又因为$EF\perp AC$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$AECF$是菱形。
2. （2）
证明：
设$AB = x$，因为$BC = 2AB$，所以$BC = 2x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB\perp AC$，根据勾股定理$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$，将$BC = 2x$，$AB = x$代入可得$AC=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{4x^{2}-x^{2}}=\sqrt{3x^{2}}=\sqrt{3}x$。
因为四边形$AECF$是菱形，所以$AE = CE$。
又因为$BC = 2AB$，$AB\perp AC$，$\angle ACB = 30^{\circ}$（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，这里$AB=\frac{1}{2}BC$），所以$\angle B = 60^{\circ}$。
因为$AE = BE$（$AE = CE$，$BC = 2AB$，$AB = BE$），所以$\triangle ABE$是等边三角形，则$AE = AB$，$\angle AEB = 60^{\circ}$，所以$\angle AEC = 120^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AD = BC$，$AD// BC$，$AB = CD$，又$AE = AB$，所以$AE = CD$。
因为$CE = AE$，$BC = 2AB$，所以$BE = AB = AE$，$CE = AB$，$AD = 2AB$，$AF = CE$，所以$FD = AB$，即$AE = FD$。
又因为$AD// BC$，所以$\angle DCE=\angle ADC$。
在$\triangle ADE$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CD\\\angle AED=\angle DCE\\ED = DE\end{array}\right.$（$SAS$：边角边，$\angle AED = 180^{\circ}-\angle AEB=120^{\circ}$，$\angle DCE = 180^{\circ}-\angle BCD$，$\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle DCE = 120^{\circ}$）。
所以$\triangle ADE\cong\triangle DCE$，则$\angle ADE=\angle CDE$。
因为$AD// BC$，$\angle AEB = 60^{\circ}$，所以$\angle EAD=\angle AEB = 60^{\circ}$。
又因为$AD = 2AB$，$AE = AB$，所以$AD = 2AE$。
在$\triangle ADE$中，设$AE = a$，$AD = 2a$，过$E$作$EH\perp AD$于$H$。
因为$\angle EAH = 60^{\circ}$，$\angle AHE = 90^{\circ}$，所以$\angle AEH = 30^{\circ}$，则$AH=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}a$，$EH=\sqrt{AE^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{1}{2}a\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$HD=AD - AH=2a-\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$。
根据勾股定理$DE=\sqrt{EH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}a\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{9}{4}a^{2}}=\sqrt{3}a$。
再根据勾股定理逆定理，$AE^{2}+DE^{2}=a^{2}+3a^{2}=4a^{2}$，$AD^{2}=(2a)^{2}=4a^{2}$。
所以$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，根据勾股定理逆定理可得$\angle AED = 90^{\circ}$，即$AE\perp DE$。
另一种方法：
（2）证明：
因为四边形$AECF$是菱形，所以$AE = CE$，$\angle EAC=\angle ECA$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AD = BC$，$AD// BC$，$AB = CD$。
设$AB = x$，则$BC = 2x$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 30^{\circ}$。
因为$AE = BE$（$AE = CE$，$BC = 2AB$），所以$\triangle ABE$是等边三角形，$AE = AB$，$\angle BAE = 60^{\circ}$。
因为$AD// BC$，所以$\angle EAD=\angle AEB = 60^{\circ}$，$AD = 2AB$，$AE = AB$，所以$AD = 2AE$。
连接$AC$，$BD$交于点$O$（平行四边形对角线互相平分），因为$AB\perp AC$，$O$是$BD$中点，$E$是$BC$中点（$AE = CE$），所以$OE// CD$，$OE=\frac{1}{2}CD$（三角形中位线定理）。
又因为$AE = AB = CD$，$AD = 2AB$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}$。
因为$\angle DAB = 120^{\circ}$（$\angle B = 60^{\circ}$，$AD// BC$），$\vert\overrightarrow{AD}\vert = 2\vert\overrightarrow{AE}\vert$，$\vert\overrightarrow{AE}\vert=\vert\overrightarrow{CD}\vert$。
根据向量数量积公式$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\cdot(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE})$，因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AE}$（$AE = CE$，方向相反）。
$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CE}=\vert\overrightarrow{AE}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AE}\vert^{2}=0$。
因为$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE} = 0$，所以$\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{DE}$，即$AE\perp DE$。
综上，（1）四边形$AECF$是菱形；（2）$AE\perp DE$得证。
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