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(1)点 $A$ 的坐标为
(2)①请直接写出点 $C$ 的坐标；
②当 $0 ＜ t ＜ 3$ 时，求 $a$ 关于 $t$ 的函数关系式；
③当 $a = \frac{5}{2}$ 时，请直接写出点 $P$ 的横坐标 $t$ 的值。
$(3,3)$
，点 $B$ 的坐标为$(6,0)$
。(2)①请直接写出点 $C$ 的坐标；
点C的坐标为$(4,-3)$
②当 $0 ＜ t ＜ 3$ 时，求 $a$ 关于 $t$ 的函数关系式；
$a=\frac{7}{4}t(0＜t＜3)$
③当 $a = \frac{5}{2}$ 时，请直接写出点 $P$ 的横坐标 $t$ 的值。
满足条件的点P的横坐标t的值为$\frac{10}{7}$或5
答案：
(1)$(3,3)$ $(6,0)$
(2)①点C的坐标为$(4,-3)$. ②$a=\frac{7}{4}t(0＜t＜3)$. ③满足条件的点P的横坐标t的值为$\frac{10}{7}$或5.
(1)$(3,3)$ $(6,0)$
(2)①点C的坐标为$(4,-3)$. ②$a=\frac{7}{4}t(0＜t＜3)$. ③满足条件的点P的横坐标t的值为$\frac{10}{7}$或5.
例 6 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC = 60cm$，$\angle A = 60^{\circ}$，点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $CA$ 方向以 $4cm/s$ 的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 方向以 $2cm/s$ 的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点 $D$，$E$ 运动的时间是 $t s$。过点 $D$ 作 $DF\perp BC$ 于点 $F$，连接 $DE$，$EF$。
(1)求证：$AE = DF$。
(2)四边形 $AEFD$ 能成为菱形吗？如果能，求出相应的 $t$ 值；如果不能，请说明理由。
(3)当 $t$ 为何值时，$\triangle DEF$ 为直角三角形？请说明理由。
(1)求证：$AE = DF$。
(2)四边形 $AEFD$ 能成为菱形吗？如果能，求出相应的 $t$ 值；如果不能，请说明理由。
(3)当 $t$ 为何值时，$\triangle DEF$ 为直角三角形？请说明理由。
答案：
1. （1）证明：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle C=30^{\circ}$。
已知$CD = 4t$，在$Rt\triangle DFC$中，$\angle DFC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$DF=\frac{1}{2}CD$，所以$DF = 2t$。
又因为$AE = 2t$，所以$AE = DF$。
2. （2）
因为$DF\perp BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以$DF// AB$，又$AE = DF$，所以四边形$AEFD$是平行四边形。
当$AD = AE$时，四边形$AEFD$是菱形。
已知$AC = 60$，$CD = 4t$，则$AD=AC - CD=60 - 4t$，$AE = 2t$。
令$AD = AE$，即$60−4t = 2t$，
移项可得$2t + 4t=60$，
合并同类项得$6t = 60$，
解得$t = 10$。
当$t = 10$时，$CD = 4t = 40\lt60$，$AE = 2t = 20\lt AB$（$AB=\frac{1}{2}AC = 30$），所以四边形$AEFD$能成为菱形，$t = 10$。
3. （3）
①当$\angle EDF = 90^{\circ}$时：
因为$DF// AB$，所以$\angle AED=\angle EDF = 90^{\circ}$，又$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle ADE = 30^{\circ}$。
所以$AD = 2AE$，$AD = 60 - 4t$，$AE = 2t$，则$60−4t = 2×(2t)$，
即$60−4t = 4t$，
移项得$4t + 4t=60$，
合并同类项得$8t = 60$，
解得$t=\frac{15}{2}$。
②当$\angle DEF = 90^{\circ}$时：
因为四边形$AEFD$是平行四边形，所以$EF// AD$，则$\angle ADE=\angle DEF = 90^{\circ}$。
因为$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle AED = 30^{\circ}$，则$AE = 2AD$。
即$2t = 2×(60 - 4t)$，
展开得$2t = 120-8t$，
移项得$2t + 8t=120$，
合并同类项得$10t = 120$，
解得$t = 12$。
此时$CD = 4t = 48$，$AE = 2t = 24$，$AD=60 - 48 = 12$，满足题意。
③当$\angle DFE = 90^{\circ}$时，$E$与$B$重合，$D$与$A$重合，这种情况不存在（因为$t$要同时满足$CD\leqslant60$且$AE\leqslant AB$，$AB = 30$，当$E$与$B$重合时$t = 15$，此时$CD = 60$，$D$与$A$重合，不构成三角形）。
综上，（1）已证$AE = DF$；（2）$t = 10$时四边形$AEFD$是菱形；（3）$t=\frac{15}{2}$或$t = 12$时，$\triangle DEF$为直角三角形。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle C=30^{\circ}$。
已知$CD = 4t$，在$Rt\triangle DFC$中，$\angle DFC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$DF=\frac{1}{2}CD$，所以$DF = 2t$。
又因为$AE = 2t$，所以$AE = DF$。
2. （2）
因为$DF\perp BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以$DF// AB$，又$AE = DF$，所以四边形$AEFD$是平行四边形。
当$AD = AE$时，四边形$AEFD$是菱形。
已知$AC = 60$，$CD = 4t$，则$AD=AC - CD=60 - 4t$，$AE = 2t$。
令$AD = AE$，即$60−4t = 2t$，
移项可得$2t + 4t=60$，
合并同类项得$6t = 60$，
解得$t = 10$。
当$t = 10$时，$CD = 4t = 40\lt60$，$AE = 2t = 20\lt AB$（$AB=\frac{1}{2}AC = 30$），所以四边形$AEFD$能成为菱形，$t = 10$。
3. （3）
①当$\angle EDF = 90^{\circ}$时：
因为$DF// AB$，所以$\angle AED=\angle EDF = 90^{\circ}$，又$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle ADE = 30^{\circ}$。
所以$AD = 2AE$，$AD = 60 - 4t$，$AE = 2t$，则$60−4t = 2×(2t)$，
即$60−4t = 4t$，
移项得$4t + 4t=60$，
合并同类项得$8t = 60$，
解得$t=\frac{15}{2}$。
②当$\angle DEF = 90^{\circ}$时：
因为四边形$AEFD$是平行四边形，所以$EF// AD$，则$\angle ADE=\angle DEF = 90^{\circ}$。
因为$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle AED = 30^{\circ}$，则$AE = 2AD$。
即$2t = 2×(60 - 4t)$，
展开得$2t = 120-8t$，
移项得$2t + 8t=120$，
合并同类项得$10t = 120$，
解得$t = 12$。
此时$CD = 4t = 48$，$AE = 2t = 24$，$AD=60 - 48 = 12$，满足题意。
③当$\angle DFE = 90^{\circ}$时，$E$与$B$重合，$D$与$A$重合，这种情况不存在（因为$t$要同时满足$CD\leqslant60$且$AE\leqslant AB$，$AB = 30$，当$E$与$B$重合时$t = 15$，此时$CD = 60$，$D$与$A$重合，不构成三角形）。
综上，（1）已证$AE = DF$；（2）$t = 10$时四边形$AEFD$是菱形；（3）$t=\frac{15}{2}$或$t = 12$时，$\triangle DEF$为直角三角形。
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