《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

10. [2023 秋·沈河区校级月考]如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0,6)，点 B 在线段 AO 上，且 AB=2BO，若点 P 在 x 轴的正半轴上，连接 BP，过点 P 作 PQ⊥PB。
（1）如图 1，E 是射线 PQ 上一点，过点 E 作 EC⊥x 轴，垂足为 C。
①点 B 的坐标为(0, 2)；
②求证：△BOP∽△PCE。

（2）在（1）的条件下，如图 2，若点 C 的坐标为(8,0)。过点 A 作 DA⊥y 轴，且与 CE 的延长线交于点 D。若点 C 关于直线 PQ 的对称点 C'正好落在线段 AD 上，连接 PC'，求点 P 的坐标。
点 $P$ 的坐标为 $(\frac{6}{5}, 0)$ 或 $(2, 0)$。
（3）如图 3，若∠BPO=60°，点 E 在直线 PQ 上，EC⊥x 轴，垂足为 C，若以点 E，P，C 为顶点的三角形和△BPE 相似，请直接写出点 E 的坐标。
满足条件的点 $E$ 的坐标为 $(\frac{8\sqrt{3}}{3}, 2)$ 或 $(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3})$ 或 $(0, -\frac{2}{3})$ 或 $(-\frac{4\sqrt{3}}{3}, -2)$。

答案：
(1) ① $(0, 2)$ ② 略
(2) 点 $P$ 的坐标为 $(\frac{6}{5}, 0)$ 或 $(2, 0)$。
(3) 满足条件的点 $E$ 的坐标为 $(\frac{8\sqrt{3}}{3}, 2)$ 或 $(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3})$ 或 $(0, -\frac{2}{3})$ 或 $(-\frac{4\sqrt{3}}{3}, -2)$。