《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例 7 【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出了一个问题：如图 1，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AB$ 上一点，$DF\perp CE$ 于点 $F$，$GD\perp DF$，$AG\perp DG$，$AG = CF$，试说明矩形 $ABCD$ 是正方形。
【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图 2，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AB$ 上一点，$DF\perp CE$ 于点 $F$，$AH\perp CE$ 交 $CE$ 的延长线于点 $H$，$GD\perp DF$，交 $HA$ 的延长线于点 $G$，可以用等式表示线段 $FH$，$AH$，$CF$ 的数量关系，请你思考并说明理由。

【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图 3，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AB$ 上一点，$AH\perp CE$ 交 $CE$ 的延长线于点 $H$，点 $M$ 在 $CH$ 上，且 $AH = HM$，连接 $AM$，$BH$，可以用等式表示线段 $CM$，$BH$ 的数量关系，请你思考并说明理由。

答案： （1）证明矩形$ABCD$是正方形
- 因为$GD\perp DF$，$AG\perp DG$，$DF\perp CE$，所以$\angle G=\angle GDF = \angle DFC = 90^{\circ}$。
- 则$\angle GDA+\angle ADF = 90^{\circ}$，$\angle CDF+\angle ADF = 90^{\circ}$，所以$\angle GDA=\angle CDF$。
- 在$\triangle AGD$和$\triangle DFC$中，$\begin{cases}\angle G=\angle DFC\\\angle GDA=\angle CDF\\AG = CF\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle AGD\cong\triangle DFC$。
- 所以$AD = DC$。
- 又因为四边形$ABCD$是矩形，一组邻边相等的矩形是正方形，所以矩形$ABCD$是正方形。
（2）探究$FH$，$AH$，$CF$的数量关系
- 解：$FH=CF + AH$。
- 理由：因为$GD\perp DF$，$AH\perp CE$，$DF\perp CE$，所以$\angle G=\angle GFH=\angle DFC = 90^{\circ}$。
- 则$\angle GDA+\angle ADF = 90^{\circ}$，$\angle CDF+\angle ADF = 90^{\circ}$，所以$\angle GDA=\angle CDF$。
- 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$。
- 由$\angle G=\angle DFC$，$\angle GDA=\angle CDF$，$AD = DC$，根据$AAS$可得$\triangle AGD\cong\triangle DFC$，所以$AG = DF$，$GD=CF$。
- 又因为$\angle G=\angle GFH=\angle AHF = 90^{\circ}$，所以四边形$GDFH$是矩形，则$GD = FH$，$AG = DF = AH$（矩形对边相等，全等三角形对应边相等）。
- 因为$GD=CF$，所以$FH=CF + AH$。
（3）探究$CM$，$BH$的数量关系
- 解：$CM=\sqrt{2}BH$。
- 理由：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$。
- 因为$AH\perp CE$，$AH = HM$，所以$\angle HAM=\angle HMA = 45^{\circ}$，$\angle BAH+\angle EAM = 45^{\circ}$。
- 又因为$\angle BCM+\angle EAM=\angle AMC - \angle ABC=45^{\circ}$（三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和），所以$\angle BAH=\angle BCM$。
- 在$\triangle ABH$和$\triangle BCM$中，$\begin{cases}\angle BAH=\angle BCM\\AB = BC\\\angle ABH=\angle BCM + 90^{\circ}=\angle ABC+\angle BAH=\angle ABM\end{cases}$，根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ABH\cong\triangle BCM$。
- 所以$BH = CM\sin45^{\circ}$，即$CM=\sqrt{2}BH$。
综上，（1）通过证明三角形全等得出邻边相等，进而证明矩形是正方形；（2）$FH=CF + AH$；（3）$CM=\sqrt{2}BH$。