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7. [2023 秋·辽中区期末]【问题情境】
如图 1，点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GE⊥BC，垂足为 E，GF⊥CD，垂足为 F。
（1）求证：四边形 CEGF 是正方形；
（2）求 AG/BE 的值。
【类比探究】
（3）如图 2，将正方形 CEGF 绕点 C 按顺时针方向旋转 α（0°＜α＜45°），试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由。
如图 1，点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GE⊥BC，垂足为 E，GF⊥CD，垂足为 F。
（1）求证：四边形 CEGF 是正方形；
（2）求 AG/BE 的值。
【类比探究】
（3）如图 2，将正方形 CEGF 绕点 C 按顺时针方向旋转 α（0°＜α＜45°），试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由。
答案：
1. （1）**证明四边形$CEGF$是正方形**：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle ACB=\angle ACD = 45^{\circ}$。
又因为$GE\perp BC$，$GF\perp CD$，即$\angle GEC=\angle GFC = 90^{\circ}$。
根据有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$CEGF$是矩形。
在$\triangle GEC$中，$\angle GEC = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle EGC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
所以$GE = EC$（等角对等边）。
因为矩形$CEGF$的邻边$GE = EC$，所以矩形$CEGF$是正方形。
2. （2）**求$\frac{AG}{BE}$的值**：
连接$DG$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CB = CD$，$\angle BCG=\angle DCG = 45^{\circ}$，$CG = CG$。
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle BCG\cong\triangle DCG$，所以$BG = DG$。
又因为四边形$CEGF$是正方形，所以$GE = GF$，$\angle GEC=\angle GFC = 90^{\circ}$，$CB - CE=CD - CF$，即$BE = DF$。
因为$\angle GEB=\angle GFD = 90^{\circ}$，所以$\triangle BEG\cong\triangle DFG$（$SAS$），则$\angle BGE=\angle DGF$。
因为$\angle BGD=\angle BGE+\angle EGD=\angle DGF+\angle EGD = 90^{\circ}$，且$AB = AD$，$BG = DG$。
设$BE = x$，则$DF = x$，设正方形$ABCD$边长为$a$，正方形$CEGF$边长为$b$，$BC=a$，$CE = b$，$BE=a - b$，$CD=a$，$CF = b$，$DF=a - b$。
由勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2}AB$，在$Rt\triangle ADG$和$Rt\triangle ABG$中，$AG^{2}=AD^{2}+DG^{2}-2AD\cdot DG\cdot\cos\angle ADG$，$AG^{2}=AB^{2}+BG^{2}-2AB\cdot BG\cdot\cos\angle ABG$（也可利用旋转思想，将$\triangle ADG$绕点$A$旋转$90^{\circ}$到$\triangle ABG'$的位置）。
因为$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle GEC = 90^{\circ}$，设$CE = x$，则$GE=x$，$CG=\sqrt{2}x$，$BC = CD$，$BE = CD - CE$，$AC=\sqrt{2}BC$。
过$G$作$GH\perp AB$于$H$，则四边形$AHGD$是矩形，$AH = DG$，$HG = AD$。
因为$\triangle BCG\cong\triangle DCG$，$\triangle BEG\cong\triangle DFG$，$AG=\sqrt{2}DG$，$BE = DG$。
所以$\frac{AG}{BE}=\sqrt{2}$。
3. （3）**探究线段$AG$与$BE$之间的数量关系**：
解：$AG=\sqrt{2}BE$。
理由：因为四边形$ABCD$和四边形$CEGF$都是正方形，所以$\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，$\frac{CG}{CE}=\sqrt{2}$，$\angle ACB=\angle ECG = 45^{\circ}$。
所以$\angle ACB-\angle ACE=\angle ECG-\angle ACE$，即$\angle ACG=\angle BCE$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），$\triangle ACG\sim\triangle BCE$。
所以$\frac{AG}{BE}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，即$AG = \sqrt{2}BE$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\frac{AG}{BE}=\boldsymbol{\sqrt{2}}$；（3）$AG=\boldsymbol{\sqrt{2}BE}$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle ACB=\angle ACD = 45^{\circ}$。
又因为$GE\perp BC$，$GF\perp CD$，即$\angle GEC=\angle GFC = 90^{\circ}$。
根据有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$CEGF$是矩形。
在$\triangle GEC$中，$\angle GEC = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle EGC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
所以$GE = EC$（等角对等边）。
因为矩形$CEGF$的邻边$GE = EC$，所以矩形$CEGF$是正方形。
2. （2）**求$\frac{AG}{BE}$的值**：
连接$DG$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CB = CD$，$\angle BCG=\angle DCG = 45^{\circ}$，$CG = CG$。
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle BCG\cong\triangle DCG$，所以$BG = DG$。
又因为四边形$CEGF$是正方形，所以$GE = GF$，$\angle GEC=\angle GFC = 90^{\circ}$，$CB - CE=CD - CF$，即$BE = DF$。
因为$\angle GEB=\angle GFD = 90^{\circ}$，所以$\triangle BEG\cong\triangle DFG$（$SAS$），则$\angle BGE=\angle DGF$。
因为$\angle BGD=\angle BGE+\angle EGD=\angle DGF+\angle EGD = 90^{\circ}$，且$AB = AD$，$BG = DG$。
设$BE = x$，则$DF = x$，设正方形$ABCD$边长为$a$，正方形$CEGF$边长为$b$，$BC=a$，$CE = b$，$BE=a - b$，$CD=a$，$CF = b$，$DF=a - b$。
由勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2}AB$，在$Rt\triangle ADG$和$Rt\triangle ABG$中，$AG^{2}=AD^{2}+DG^{2}-2AD\cdot DG\cdot\cos\angle ADG$，$AG^{2}=AB^{2}+BG^{2}-2AB\cdot BG\cdot\cos\angle ABG$（也可利用旋转思想，将$\triangle ADG$绕点$A$旋转$90^{\circ}$到$\triangle ABG'$的位置）。
因为$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle GEC = 90^{\circ}$，设$CE = x$，则$GE=x$，$CG=\sqrt{2}x$，$BC = CD$，$BE = CD - CE$，$AC=\sqrt{2}BC$。
过$G$作$GH\perp AB$于$H$，则四边形$AHGD$是矩形，$AH = DG$，$HG = AD$。
因为$\triangle BCG\cong\triangle DCG$，$\triangle BEG\cong\triangle DFG$，$AG=\sqrt{2}DG$，$BE = DG$。
所以$\frac{AG}{BE}=\sqrt{2}$。
3. （3）**探究线段$AG$与$BE$之间的数量关系**：
解：$AG=\sqrt{2}BE$。
理由：因为四边形$ABCD$和四边形$CEGF$都是正方形，所以$\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，$\frac{CG}{CE}=\sqrt{2}$，$\angle ACB=\angle ECG = 45^{\circ}$。
所以$\angle ACB-\angle ACE=\angle ECG-\angle ACE$，即$\angle ACG=\angle BCE$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），$\triangle ACG\sim\triangle BCE$。
所以$\frac{AG}{BE}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，即$AG = \sqrt{2}BE$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\frac{AG}{BE}=\boldsymbol{\sqrt{2}}$；（3）$AG=\boldsymbol{\sqrt{2}BE}$。
8. [2023 秋·沈北新区期中]某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究。
【观察猜想】
（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 上的两点，连接 DE，CF，且 DE⊥CF，则 DE/CF 的值为
（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AD=7，CD=4，E 是 AD 上的一点，连接 CE，BD，且 CE⊥BD，则 CE/BD 的值为
【类比探究】
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90°，点 E 为 AB 上一点，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G，交 AD 的延长线于点 F，求证：DE·AB=CF·AD。
证明：过点$C$作$CH\perp AF$交$AF$的延长线于点$H$。
因为$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，所以四边形$ABCH$是矩形，$AB = CH$，$\angle H = 90^{\circ}$。
因为$CG\perp EG$，所以$\angle G=\angle H = 90^{\circ}$。
因为$\angle FDG+\angle F = 90^{\circ}$，$\angle FCH+\angle F = 90^{\circ}$，所以$\angle FDG=\angle FCH$。
又因为$\angle FDG=\angle ADE$，所以$\angle ADE=\angle FCH$。
因为$\angle A=\angle H = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE\sim\triangle HCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CH}$。
又因为$CH = AB$，所以$DE\cdot AB=CF\cdot AD$。
【观察猜想】
（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 上的两点，连接 DE，CF，且 DE⊥CF，则 DE/CF 的值为
1
；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AD=7，CD=4，E 是 AD 上的一点，连接 CE，BD，且 CE⊥BD，则 CE/BD 的值为
4/7
。【类比探究】
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90°，点 E 为 AB 上一点，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G，交 AD 的延长线于点 F，求证：DE·AB=CF·AD。
证明：过点$C$作$CH\perp AF$交$AF$的延长线于点$H$。
因为$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，所以四边形$ABCH$是矩形，$AB = CH$，$\angle H = 90^{\circ}$。
因为$CG\perp EG$，所以$\angle G=\angle H = 90^{\circ}$。
因为$\angle FDG+\angle F = 90^{\circ}$，$\angle FCH+\angle F = 90^{\circ}$，所以$\angle FDG=\angle FCH$。
又因为$\angle FDG=\angle ADE$，所以$\angle ADE=\angle FCH$。
因为$\angle A=\angle H = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE\sim\triangle HCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CH}$。
又因为$CH = AB$，所以$DE\cdot AB=CF\cdot AD$。
答案：
（1）
解：在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$\angle A=\angle CDF = 90^{\circ}$。
因为$DE\perp CF$，所以$\angle ADE+\angle DFC = 90^{\circ}$，$\angle DCF+\angle DFC = 90^{\circ}$。
则$\angle ADE=\angle DCF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle CDF\\AD = CD\\\angle ADE=\angle DCF\end{cases}$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ADE\cong\triangle DCF$。
所以$DE = CF$，$\frac{DE}{CF}=1$。
（2）
解：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle A=\angle CDA = 90^{\circ}$。
因为$CE\perp BD$，所以$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle ADB = 90^{\circ}$。
则$\angle ABD=\angle DEC$。
所以$\triangle ABD\sim\triangle DEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{CE}{BD}=\frac{CD}{AD}$。
已知$AD = 7$，$CD = 4$，所以$\frac{CE}{BD}=\frac{4}{7}$。
（3）
证明：过点$C$作$CH\perp AF$交$AF$的延长线于点$H$。
因为$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，所以四边形$ABCH$是矩形，$AB = CH$，$\angle H = 90^{\circ}$。
因为$CG\perp EG$，所以$\angle G=\angle H = 90^{\circ}$。
因为$\angle FDG+\angle F = 90^{\circ}$，$\angle FCH+\angle F = 90^{\circ}$，所以$\angle FDG=\angle FCH$。
又因为$\angle FDG=\angle ADE$，所以$\angle ADE=\angle FCH$。
因为$\angle A=\angle H = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE\sim\triangle HCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CH}$。
又因为$CH = AB$，所以$DE\cdot AB=CF\cdot AD$。
综上，答案依次为：（1）$1$；（2）$\frac{4}{7}$。
解：在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$\angle A=\angle CDF = 90^{\circ}$。
因为$DE\perp CF$，所以$\angle ADE+\angle DFC = 90^{\circ}$，$\angle DCF+\angle DFC = 90^{\circ}$。
则$\angle ADE=\angle DCF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle CDF\\AD = CD\\\angle ADE=\angle DCF\end{cases}$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ADE\cong\triangle DCF$。
所以$DE = CF$，$\frac{DE}{CF}=1$。
（2）
解：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle A=\angle CDA = 90^{\circ}$。
因为$CE\perp BD$，所以$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle ADB = 90^{\circ}$。
则$\angle ABD=\angle DEC$。
所以$\triangle ABD\sim\triangle DEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{CE}{BD}=\frac{CD}{AD}$。
已知$AD = 7$，$CD = 4$，所以$\frac{CE}{BD}=\frac{4}{7}$。
（3）
证明：过点$C$作$CH\perp AF$交$AF$的延长线于点$H$。
因为$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，所以四边形$ABCH$是矩形，$AB = CH$，$\angle H = 90^{\circ}$。
因为$CG\perp EG$，所以$\angle G=\angle H = 90^{\circ}$。
因为$\angle FDG+\angle F = 90^{\circ}$，$\angle FCH+\angle F = 90^{\circ}$，所以$\angle FDG=\angle FCH$。
又因为$\angle FDG=\angle ADE$，所以$\angle ADE=\angle FCH$。
因为$\angle A=\angle H = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE\sim\triangle HCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CH}$。
又因为$CH = AB$，所以$DE\cdot AB=CF\cdot AD$。
综上，答案依次为：（1）$1$；（2）$\frac{4}{7}$。
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