《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 如图，直线$y=-x+b$与坐标轴分别交于点$A$，$B$，以$AB$为直角边作$Rt\triangle ABC$，使$∠BAC=30^{\circ}$，$BC=4$。若正方形$FEBG$内接于$\triangle ABC$，则点$F$的坐标为$(2\sqrt{6},6\sqrt{2}-2\sqrt{6})$。

答案： $(2\sqrt{6},6\sqrt{2}-2\sqrt{6})$

2. 如图，在$Rt\triangle ABC(∠C=90^{\circ})$中有三个内接正方形，$DF=9cm$，$GK=6cm$，求第三个正方形的边长$PQ$。

答案： 第三个正方形的边长 $PQ$ 为 $4\mathrm{cm}$。

3. 如图，在锐角三角形$ABC$中，边$BC$的长为12，高$AD$为8。矩形$EFGH$的边$GH$在边$BC$上，其余两个顶点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$EF$交$AD$于点$K$。
(1)求$\frac{EF}{AK}$的值；
(2)设$EH=x$，矩形$EFGH$的面积为$S$，求$S$与$x$的函数关系式，并求$S$的最大值。

答案：
(1) $\dfrac{3}{2}$
(2) $S$ 的最大值为 $24$。