《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数.若从2,3,4,5中任取3个数,则这3个数能构成一组勾股数的概率是$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$

2. 如图,在平面直角坐标系中,有四个点A(-1,0),B(-2,0),C(0,1),D(0,2),分别以A,B,C,D中的任意两点与原点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰直角三角形的概率是$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

3. 四张完全相同的卡片上分别画有线段、等边三角形、正七边形和圆,现从中随机抽取两张,卡片上面的图形恰好都是中心对称图形的概率为$\frac{1}{6}$.

答案： $\frac{1}{6}$

4. 在3张相同的小纸条上,分别写上条件:①四边形ABCD是菱形;②四边形ABCD有一个内角是直角;③四边形ABCD的对角线相等.将这3张小纸条做成3支签,放在一个不透明的盒子中.
(1)搅匀后从中任意抽出1支签,抽到条件①的概率是$\frac{1}{3}$.
(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回),再从余下的2支签中任意抽出1支签.四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件,求四边形ABCD一定是正方形的概率.
$\frac{2}{3}$

答案：
(1)$\frac{1}{3}$
(2)$\frac{2}{3}$

5. 在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后,背面向上,洗匀放好.现从中随机抽取一张,再放回,洗匀后再从中随机抽取一张.
(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A,B,C,D表示);
(2)求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.

答案： 1. （1）列表法表示所有可能结果：
列表如下：
|第一次\第二次|A|B|C|D|
|----|----|----|----|----|
|A|(A,A)|(A,B)|(A,C)|(A,D)|
|B|(B,A)|(B,B)|(B,C)|(B,D)|
|C|(C,A)|(C,B)|(C,C)|(C,D)|
|D|(D,A)|(D,B)|(D,C)|(D,D)|
由表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果共有$n = 4×4=16$种。
2. （2）判断勾股数：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）。
对于$A$卡片：$2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$，$4^{2}=16$，$2^{2}+3^{2}\neq4^{2}$，不是勾股数。
对于$B$卡片：$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$，$5^{2}=25$，$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，是勾股数。
对于$C$卡片：$6^{2}+8^{2}=36+64 = 100$，$10^{2}=100$，$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，是勾股数。
对于$D$卡片：$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$13^{2}=169$，$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，是勾股数。
设事件$E$为“抽到的两张卡片上的数都是勾股数”。
满足条件的情况有$(B,B)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(C,B)$、$(C,C)$、$(C,D)$、$(D,B)$、$(D,C)$、$(D,D)$，共$m = 9$种。
根据概率公式$P(E)=\frac{m}{n}$，这里$n = 16$，$m = 9$。
所以（1）两次抽取卡片的所有可能结果如上述列表；（2）抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率为$\frac{9}{16}$。