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3. (内弦图模型)如图，正方形ABCD的顶点A在直线l上，分别过点B，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F，连接BF.
(1)请找出一对全等的三角形，并说明理由；
(2)若$AE=6,AB=2\sqrt {13}$，求$\triangle ABF$的面积.
(1)请找出一对全等的三角形，并说明理由；
(2)若$AE=6,AB=2\sqrt {13}$，求$\triangle ABF$的面积.
答案：
1. （1）
解：$\triangle ABE\cong\triangle DAF$。
理由：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，则$\angle BAE+\angle DAF = 90^{\circ}$。
又因为$BE\perp l$，$DF\perp l$，所以$\angle AEB=\angle DFA = 90^{\circ}$，且$\angle BAE+\angle ABE = 90^{\circ}$。
所以$\angle ABE=\angle DAF$（同角的余角相等）。
在$\triangle ABE$和$\triangle DAF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AEB=\angle DFA\\\angle ABE=\angle DAF\\AB = DA\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle DAF$。
2. （2）
解：在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$。
已知$AE = 6$，$AB = 2\sqrt{13}$，则$BE=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52 - 36}=\sqrt{16}=4$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle DAF$，所以$AF = BE = 4$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AF\cdot AE$。
把$AF = 4$，$AE = 6$代入可得$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。
综上，（1）$\triangle ABE\cong\triangle DAF$（理由见上述过程）；（2）$\triangle ABF$的面积为$12$。
解：$\triangle ABE\cong\triangle DAF$。
理由：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，则$\angle BAE+\angle DAF = 90^{\circ}$。
又因为$BE\perp l$，$DF\perp l$，所以$\angle AEB=\angle DFA = 90^{\circ}$，且$\angle BAE+\angle ABE = 90^{\circ}$。
所以$\angle ABE=\angle DAF$（同角的余角相等）。
在$\triangle ABE$和$\triangle DAF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AEB=\angle DFA\\\angle ABE=\angle DAF\\AB = DA\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle DAF$。
2. （2）
解：在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$。
已知$AE = 6$，$AB = 2\sqrt{13}$，则$BE=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52 - 36}=\sqrt{16}=4$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle DAF$，所以$AF = BE = 4$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AF\cdot AE$。
把$AF = 4$，$AE = 6$代入可得$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。
综上，（1）$\triangle ABE\cong\triangle DAF$（理由见上述过程）；（2）$\triangle ABF$的面积为$12$。
4. (外弦图模型)如图，在正方形ABCD中，G是边BC上的任意一点(不与点B，C重合)，$DE⊥AG$于点E，$BF// DE$，且交AG于点F.
(1)求证：$AF-BF=EF.$
(2)四边形BFDE有可能是平行四边形吗？若可能，请指出此时点G的位置；若不可能，请说明理由.
(1)求证：$AF-BF=EF.$
(2)四边形BFDE有可能是平行四边形吗？若可能，请指出此时点G的位置；若不可能，请说明理由.
答案：
1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，即$\angle BAF+\angle DAE = 90^{\circ}$。
又因为$DE\perp AG$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，则$\angle ADE+\angle DAE = 90^{\circ}$。
所以$\angle BAF=\angle ADE$（同角的余角相等）。
因为$BF// DE$，$DE\perp AG$，所以$\angle BFA=\angle AED = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DAE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BFA=\angle AED\\\angle BAF=\angle ADE\\AB = DA\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABF\cong\triangle DAE$。
所以$BF = AE$。
因为$AF - AE=EF$，将$BF = AE$代入可得$AF - BF=EF$。
2. （2）
若四边形$BFDE$是平行四边形，因为$BF// DE$，则需$BF = DE$。
由（1）知$\triangle ABF\cong\triangle DAE$，则$BF = AE$，若$BF = DE$，则$AE = DE$。
因为$\angle AED = 90^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle ADE = 45^{\circ}$。
又因为$\angle BAF=\angle ADE$，所以$\angle BAF = 45^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABG$中，$\angle ABG = 90^{\circ}$，$\angle BAG = 45^{\circ}$，所以$\angle AGB=\angle BAG = 45^{\circ}$。
根据等角对等边，可得$AB = BG$。
所以当点$G$为$BC$中点时，四边形$BFDE$是平行四边形。
综上，（1）证明见上述过程；（2）当点$G$为$BC$中点时，四边形$BFDE$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，即$\angle BAF+\angle DAE = 90^{\circ}$。
又因为$DE\perp AG$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，则$\angle ADE+\angle DAE = 90^{\circ}$。
所以$\angle BAF=\angle ADE$（同角的余角相等）。
因为$BF// DE$，$DE\perp AG$，所以$\angle BFA=\angle AED = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DAE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BFA=\angle AED\\\angle BAF=\angle ADE\\AB = DA\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABF\cong\triangle DAE$。
所以$BF = AE$。
因为$AF - AE=EF$，将$BF = AE$代入可得$AF - BF=EF$。
2. （2）
若四边形$BFDE$是平行四边形，因为$BF// DE$，则需$BF = DE$。
由（1）知$\triangle ABF\cong\triangle DAE$，则$BF = AE$，若$BF = DE$，则$AE = DE$。
因为$\angle AED = 90^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle ADE = 45^{\circ}$。
又因为$\angle BAF=\angle ADE$，所以$\angle BAF = 45^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABG$中，$\angle ABG = 90^{\circ}$，$\angle BAG = 45^{\circ}$，所以$\angle AGB=\angle BAG = 45^{\circ}$。
根据等角对等边，可得$AB = BG$。
所以当点$G$为$BC$中点时，四边形$BFDE$是平行四边形。
综上，（1）证明见上述过程；（2）当点$G$为$BC$中点时，四边形$BFDE$是平行四边形。
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